一、三段论的定义及结构
1.三段论是由两个包含着一个共同项的性质判断作前提，推出另一个性质判断为结论的间接推理。这个定义需注意三点：一是三段论全由性质判断组成；二是两个前提必须有一个共同项；三是三段论是间接推理，因为它的前提是两个判断组成。例：凡犯罪行为都是违法行为；抢劫是犯罪行为，所以，抢劫是违法行为。三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理。简单判断又叫性质判断，一般表现为陈述句。其句子的基本公式是：所有（有的）S是（不是）P。在这公式里，S、P是变项；可以代入具体的词；其中，S是主项，P是谓项，相当于语法学中所说的主语、谓语。所有（“有的”意味着至少1个，至多全体），是（不是），称为常项，即不变的项目。其中，是（不是）称为连接项（又叫“质”），表达了肯定或否定之意；所有（有的）是“量”项，是对变相数量的限制！

2.三段论的结构。从它们包含的不同概念来看，三段论包含的概念叫词项，每个判断都有各自的主项和谓项，由于每一个词项都出现一次，所以，实际上前提和结论中只包括三个不同的概念（词项）：大项、小项和中项。结论中的主项叫小项，用S表示；结论中的谓项叫大项，用P表示；在前提中出现两次而在结论中不出现的项叫中项，用M表示。中项在大项和小项之间起媒介作用，从而使人们得出结论。从它所包含的不同判断来看，三段论有大小前提和结论三部分：大前提是包含大项的前提，小前提是包含小项的前提，结论是指推出的新判断。一般地说，在关联词“所以”、“因此”，“由此可见”等等后面的是结论。例：“所有金属是导电体，铜是金属；所以，铜是导电体。”这个例子里，“所有金属是导电体”为大前提，“导电体”是大项；“铜是金属”是小前提；“铜”是小项，前提中的共同项“金属”是中项；“铜是导电体”是结论。

二、三段论公理
一般来说：大前提是普遍原理，小前提是具体情况，结论是普遍原理和具体事物相结合的产物。由于前提蕴含了结论，所以，结论具有必然性。因此，直言三段论又是必然性推理，若前提真或推理正确，结论必真。

三段论的公理是：一类事物的全部对象是什么或不是什么，那么，它的部分对象也就是什么或不是什么。三段论公理也就是三段论推理的理论基础。用逻辑形式可以表示为：SAP真，SIP真；SEP真，SOP真。这就是利用对当关系表中的差等关系来进行推理。例如：任何科学规律（中项）都是客观的，逻辑规律（小项）是科学规律；所以，逻辑规律是客观的（大项）。

用集合论表示：若m集合的元素全部属于集合p，s集合元素全部属于集合m，所以，s也属于集合p；若m的全部都不属于集合p，s全部属于集合m，所以s也就不属于集合p。在这里，属于关系具有传递性，三段论可以视为传递性关系的运用。人们从远古就会知道：一个人属于家庭，家庭属于族群，那么，这个人属于族群。这个推理的正确性是不需要证明的。并且，命题之间的“传递性”关系应当作为逻辑推理的基础。

一个有效三段论的推理模式可以表示为：
小前提：所有x都是y    (xy)                   所有马都是动物
大前提：所有y都是z    (yz)                   所有动物都有生命                 
结  论：所有x都是z    (xz)                   所有马都有生命

根据逻辑的原则，所谓推理“有效”，是指忽略内容，只关注形式推导有效，即不管x、y、z是驴是马，只要两个前提为真，结论也为真。在这里，x、y、z都被视为类即集合。xy是两个集合的交集即xy，它们既属于x又属于y。小前提——所有x都是y，被翻译为数学语言，所有x集合都属于y集合即xy，由此，得到大前提是yz，结论是xz。这样一来，三段论推理就成了一个简单的集合论的数学运算。现在，用布尔代数来证明三段论推理的有效：小前提说，“所有x都是y”，即x类中的每一个东西都属于y类，可以表示为x=xy；同理，大前提可以写成y=yz，从而得到：x=xy=x(yz)=(xy)z=xz，略过中间过程，x=xz，就得到：“所有x都是z”。

这样，可以得到了下面的命题：凡是可以构成直言三段论的论述，对应的集合之间存在传递关系。事实上，如果命题之间不具有传递性，是不能进行逻辑论证的。

例1：“所有三角形的内角和都是180度。平角不是三角形的内角和。所以，平角不是180度。”例1是一个三段论推理，可是这个推理是错的。错在：条件集合和结论集合之间不存在包含关系，没有传递性。小前提说平角“不属于”三角形，结论说平角“不属于”180度，“不属于”关系没有传递性。事实上，平角“属于”180度。从逻辑的层面看，演绎推理规定：在前提不周延的项，在结论中不得周延；这个推理的大项“180度”在前提中不周延，在结论中却周延了，违反了推理规则，是错误的推理。

例2：“所有三角形的内角和都是180度，这个多边形的内角和不是180度，所以这个多边形不是三角形。”例2未违反推理规则，是一个正确的推理。小前提说这个多边形“不属于”180度；结论说这个多边形“不属于”三角形。这里“不属于”有传递性。

例1、例2会使人们困惑，都是“不属于”关系推理，为什么一个对一个错呢？从逻辑的层面已经给出了答案，例1违反了推理规则，例2未违反推理规则。从数学集合论层面看，180度这个集合包含了三角形子集和平角子集；所以例1是错的。在例2中，三角形属于多边形，这个多边形也属于多边形；但多边形中唯有三角形属于180度，而这个多边形不属于180度，所以，这个多边形不属于180度集合内的三角形子集。

通过正反两个方面的讨论，可以得到结论：三段论推理的本质是命题变相的可传递性，或者说，命题所对应的集合之间可以形成包含关系，而包含关系具有可传递性。

三，传递性推理模式。传递关系(transitive relation)是一种特殊的关系，指由甲、乙和乙、丙都有，可推知甲、丙也有的那种关系。当aRb为真并且bRc也为真时，aRc必为真。此时的关系R是传递关系。例3，“人类属于灵长目，灵长目属于脊椎动物门，所以，人类属于脊椎动物门。”这里以“属于”进行的推理就是传递性推理。

例4，“小明的成绩低于小张的，小张的成绩低于小芳的，所以，小明的成绩低于小芳的。”这里以“低于”进行的推理就是传递性推理。

例5，最典型的传递性推理模式就是平行的传递了。直线A和直线B平行，即A//B；直线B和直线C平行，即B//C；可推知：直线A和直线C平行即A//C。这里以“//”进行的推理就是传递性推理。数学中用的最多的传递性推理是“等于”模式，解方程就是具体的例子。

例6.张东荪说：有些关系在汉语中可以传递，但在西方语言中却不可传递。如说“ A is the father of b, b is the father of c. ”就不能推出“Therefore a is the father of c. ”因为“ father”这个词在西方是仅指父亲的。但在汉语中，这种传递是允许的，因为古汉语中父亲、祖父、曾祖父都可以称为“父”。可见不同的逻辑系统的构造，完全是由于语言上对名词的内容和性质的不同规定而引起的。
四，三段论的推理规则。三段论是亚里士多德创立的，他最大功劳是舍去了思维的内容，专门研究推理形式，从而确立了7条推理规则。

1，必须而且只能有三个不同的概念，否则就是“四概念”（四名词）错误。例如：“中国人是勤劳勇敢的，我是一个中国人，所以，我是勤劳勇敢的。”看起来，这是一个三段论推理。“我”是小项，“勤劳勇敢”是大项，“中国人”是中项！合乎三段论只能有三个项的要求！但是，大前提的“中国人”是集合概念，小前提的“中国人”是非集合概念，说者把二者等量齐观，偷换了概念。也就是说：“中国人”表示了两个概念；加上小项和大项两个概念，就出现了四个概念（名词）！违背了三段论只能三个概念的要求，犯了四名词错误。

又如：“我国的大学是分布于全国各地的;
       清华大学是我国的大学;
       所以，清华大学是分布于全国各地的。”

这个三段论的结论显然是错的，但其两个前提都是真的。为什么会由两个真的前提推出一个假的结论？原因就在中项(“我国的大学”)未保持同一，出现了四概念错误。即“我国的大学”这个语词在两个前提中所表示的概念是不同的。在大前提中它是表示我国的大学的总体，是一个集合概念。而在小前提中，它可以指我国大学中的某一所大学，表示的是非集合概念。因此，它两次出现时，实际上表示了两个不同的概念。这样，以其作为中项，也就无法将大项和小项必然地联系起来，从而推出正确的结论。

再如：“群众是真正的英雄，我是群众。所以，我是真正的英雄。”在这个例子中，大前提中的“群众”是集合概念，它表示群众的集合体。小前提的“群众”是非集合概念，它只是表示群众中的一员，这是两个不同的概念。群众的集合体才具有“真正的英雄”这种属性，群众的一员(非集合体)不一定具有“真正的英雄”这种属性。这个三段论犯了“四概念的错误”。

还有：“人类是在不断进步，我是人类，所以，我是在不断进步”。这个推理和前面的例子一样，把集合概念和非集合概念等量齐观，第一个“人类”指人类总体，第二个“人类”指人类的一份子，概念不同；犯了“四概念的错误”。再如：“物质是永恒不灭的，恐龙是物质，所以，恐龙是永恒不灭的。”前一“物质”指物质总体，而后一“物质”指的是一个具体的物质形式。概念不同。这个三段论犯了“四概念的错误”。

2，中项在前提中至少周延一次。中项周延的目的在于能够全部包容小项，否则小项可能处于中项之外，导致推理无效。如：“管理系的学生是在学习逻辑学，我是在学习逻辑学；所以，我是管理系的学生。”这里，中项“在学习逻辑学”未周延一次，犯了中项未周的逻辑错误。

如果中项在前提中一次也没周延，那就意味着在前提中大项与小项都分别只与中项的一部分外延发生联系，这样，就不能通过中项的媒介作用，使大项与小项发生必然的确定联系，因而也就无法得出确定的结论。例如：“红卫兵是反孔的，你是反孔的，所以，你是红卫兵。”在这个三段论中，中项“反孔的”在两个前提中一次也没有周延，因而“你”和“红卫兵”究竟处于何种关系就无法确定，也就无法得出必然的结论，所以这个推理是错的，犯了“中项不周延”的逻辑错误。

凡北平人都说国语，凡国语小学六年级生都说国语；所以，凡国语小学六年级生都是北平人。凡活人是有生命的，杜鲁门是有生命的；所以，杜鲁门是活人。“拿破仑的爸爸是人，希特勒是人；所以，希特勒是拿破仑的爸爸”。把殷海光所举的例子改写为推理的一般形式：所有的P（北京人或活人）是M(说国语或有生命的)，所有的S(国语小学生或杜鲁门)是M(北京人或活人)，所以，S(国语小学生或杜鲁门)是P(北京人或活人)。此推理错，犯了中项（M）未周的错误。

3，前提中不周延的项在结论中不得周延。前提中不周延的项，如果在结论中周延，其断定范围可能超出原来的范围。比如：“特供是无毒的，转基因不是特供，所以，转基因不是无毒的！”这个推理的大项“无毒的”在大前提中是不周延的，而在结论中却周延了。这种错误逻辑上称为“大项不当扩大”（“大项误周”）的错误。又如：“我们是工人，我们是青年，所以，青年是工人。”此推理犯了“小项误周”的错误即“小项不当扩大”的错误。殷海光在《逻辑新论》中写到：一切杨梅是酸，没有香瓜是杨梅；所以，没有香瓜是酸的。关敏把他的几个例子改写为：所有的M（杨梅）是P(酸的)，S(香瓜或橘子)不是M(杨梅)；所以，S(香瓜或橘子)不是P(酸的)。此推理错误！犯了大项（P）误周的错误。

4，前提之一为否定，结论必须否定。如：“所有恒星都是发光的，月球不会发光，所以，月球不是恒星”。又如：“所有的警犬不是年老的，一些经过高度训练的狗是年老的；所以，一些经过高度训练的狗是警犬。”此推理错。违反了前题中有一个否定，结论必否定的规则。

5，两个否定前提推不出结论。如：“中学不是大学，这所学校不是大学，所以，这所学校”？又如：“所有西大的学生都不得SARS，他不是西大的学生；所以，他得SARS 。”此推理的“大项周延情况”未保持一致，而且违反了两个否定前提不能得出结论的规则。

6，前提中有特称判断，结论必须特称。例如：所有大学生都是青年；有的运动员是大学生；所有，有的运动员是青年。

7，两个特称前提不能得出结论。如：有的同学不是运动员；有的运动员是影星；所以，? 

三段论规则的“口诀”：中要周延概念三（“中”指中项，此句为规则2、规则1），大项小项不扩展（规则3），一特得特否得否（规则4、6），双否双特结论难（规则5、7）。