关敏：论逻辑思维发展的阶段

逻辑的发展，经历了漫长的前逻辑阶段，科学的逻辑思维阶段以及现代的数理逻辑思维阶段。19世纪，诞生了逻辑代数；20世纪依靠逻辑代数制成了电脑。奥地利裔美国数学家哥德尔（1906-1978）说，逻辑是一门优先于所有其他科学的科学，它包含所有其他科学的基本观念和原理。


二，科学的逻辑思维阶段

古希腊是一个契约社会，血缘关系不是生活的主流，人们靠契约和法律维持社会秩序。公元前7世纪至前6世纪，古希腊建立了许多城邦国家，城邦民主制靠演讲和辩论来展开活动。那时，辩论之风盛行，不讲理性、不讲逻辑、说话不算数的人，在古希腊是没法生存的。这就是西方逻辑理性传统的起源。逻辑科学经过了拼音文字阶段、数理哲学思维阶级并在民主的希腊最终形成。经过基督教的推广，西方人喜欢用理性来解决问题，就连上帝也用逻辑推理来证明。中世纪西方主流观念则认为，上帝用逻辑创造世界，人类用逻辑认识世界。及至近代，逻辑仍是真理和正义的象征，用维特根斯坦的话说：它是“类似于上帝意志的东西”。

1.拼音文字蕴含了逻辑

人类最早的文字都是象形文字！6500年前，苏美尔人创立了象形文字！3500年前海洋民族腓尼基人创造了腓尼基字母文字，而这时中国才开始出现象形文字，落后核心地带3000年！拼音文字产生之原因：中东人因交往密切而听不懂对方的语言、看不懂对方的象形文字，最自然的方法就是用音标标记其发音。最重要的原因是犹太教反对象形文字，《摩西十诫》说：“除了我之外，你不可有别的神。不可为自己雕刻偶像，也不可做什么形象仿佛上天、地上和地下、水中的百物。”这种禁令迫使仍然书写象形文字的闪米特人摆脱自己的偶像。一神论和禁止雕刻偶像促成原始西奈字母进化成原始希伯来字母和原始腓尼基（也称原始迦南）字母。它们再派生出希腊字母、拉丁字母和斯拉夫字母、阿拉美亚字母，以及印度、阿拉伯、希伯莱、波斯、维吾尔、蒙古、满文字母！

拼音文字不像象形文字，一望可知其意义；拼音文字的任何一个名词都必须通过一个定义语句才能被赋予意义，一个复杂的逻辑文字体系由此建立。使用这种文字的人，说每句话、做每件事，都必须在逻辑定义规则上运行。它奠定了西方人的逻辑思维习惯，并由此衍生出了西方文明庞杂的哲学思辨体系和科学理论体系。

2.逻辑学在数学推理中逐渐形成

古希腊荷马史诗是人类诗歌的顶峰，古希腊的戏剧、美术、体育都是世界第一。希腊航海强化了几何与天文学的知识，频繁的交易强化了数字思维。毕达哥拉斯认为：万物表面上复杂，实质是数的和谐。各天体之间距离的数的比例关系构成了天体的和谐；人体内湿和干、冷和热、苦和甜之间适当的比例构成了人体的和谐即健康。埃及、巴比伦、中国只知道勾三股四弦五，而毕达哥拉斯定理a2+b2=c2则是严密的逻辑推理形成的几何学体系。

中国人从古代开始，一直认为“天圆地方”——即大地是平的，天空是圆的。然而在2000多年前的古希腊却通过逻辑推理得出了完全不同的认识。希腊数学家埃拉托色尼（Eratosthenes，约前275-前194）得知一个事实：在阿斯旺一个叫做赛伊尼的地方有一口深井，在夏至的那一天正午时分，阳光直射井底——趴在井口可以看到水中的太阳，同时，当地的日晷“是没有影子的”；而同一时刻，在埃及北部的亚历山大港，日晷却是有影子的。埃斯托斯特尼以逻辑推出的第一个结果是：两地在同一时刻，阳光照射的角度是不同的，这证明大地是一个球！他实地测量了夏至正午时分亚历山大港日晷的影子长度（阳光的照射角度），再利用已知的亚历山大港距离阿斯旺的陆上距离和三角函数法，首次计算出了地球的周长39690公里，这与现代测量的地球平均周长只相差300公里左右。这一切都发生在2300年前！

逻辑推理，不仅帮助人类在古代仅凭有限的资料和实地测量，即可精确计算出地球的形状以及大小。更重要的是，它可以帮助人类摆脱日常经验和主观判断，进入理性思维阶段，开启了科学的逻辑思维时代。毕达哥拉斯主义者柏拉图，正是在数的哲学的指引下形成了“正义”理念。正义是一个内部均等的数，而内部均等的数是一个平方数。柏拉图剔掉了现实的表象，提出“理念论”。比如，勇敢的本质不在于进攻还是撤退，而在于人脑中有个勇敢的理念。其实，理念论仍然是“多”。马有马的理念，美有美的理念，这些理念互不关联，不能统一在一个共同的概念之上。于是，亚里士多德总结出“形式”概念，他说，任何物品都有一个形状，马匹的形状、三角形、正方形等等，无论什么形，在人脑中都可以抽象出一个统一的概念——“形式”。因此“形式”才是“一”，他关于形式的规律描述，就是形式逻辑。在逻辑史上，亚里士多德首先完成了为苏格拉底和柏拉图所发展的概念论，在此基础上提出了判断和推理，完成了形式逻辑的基本内容。亚里士多德认为，一门科学作为演绎系统应满足3个条件：1)公理和定理具有演绎关系，2)公理本身是不证自明的真理，3)定理和观察结果相一致。

几何研究和逻辑研究的结合，是古希腊逻辑理性发展的一大特点。一方面，几何学赋予了逻辑学研究以“纯形式”和“证明系统”，使古希腊人对逻辑规则的研究超越了论辩本身，专门就抽象形式的方面展开讨论。亚里士多德创立三段论的关键一招，就是引入变项。其灵感来自几何学，当几何学者以“A”表示任意的点、“AB”表示任意的线段、“△ABC”表示任意的三角形时，就已引入变项，亚式的贡献在于把几何学中的变项转化为逻辑学中的变项。这样，逻辑思维充分发展的结果，就给亚里士多德提供了一个完成从逻辑思维到逻辑学的飞跃的平台。正如克莱因所说：“希腊人在搞出正确的数学推理规律时就已奠立了逻辑的基础，但要等到亚里士多德这样的学者才能把这些规律典范化和系统化，使之形成一门独立的学科。”另一方面，逻辑学赋予了几何学研究以演绎的构造，完善了几何证明的推理工具，即“希腊人对数学的最重大贡献是坚持一切数学结果必须用演绎法推出”。正因如此，在亚里士多德逻辑学创立半个多世纪以后，欧几里德将各个孤立的几何证明系统发展成统一的公理化体系。不管欧几里德几何学这座科学宫殿多么富丽堂皇，其全部结论都是从少数公理经过演绎而来的，是逻辑学的成功运用。

亚里士多德是西方逻辑学的创始人和奠基者，他认为，逻辑是获取知识的工具，他的6篇逻辑学著作在公元1世纪被亚里士多德学派的安德罗尼柯编辑成书，书名就叫《工具论》，由《范畴篇》《解释篇》《前分析篇》《后分析篇》《论辩篇》和《辩谬篇》6篇论文组成，彰显了逻辑之论辩工具性。亚里士多德强调正义是正当的比例关系即多元均衡，显然受到了毕达哥拉斯的“黄金分割率”的影响。罗素在《西方哲学史》说：“几何学对于哲学和科学方法的影响一直是深远的。它影响了柏拉图、康德等大部分西方哲学家。《独立宣言》（从人人平等推出了革命的正义性）说：‘我们认为这些真理是自明的’，其本身便脱胎于欧几里德的公理体系模式。18世纪天赋人权的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理体系。牛顿的《原理》一书，尽管它的材料是经验的，但它的形式却完全是欧几里德的公理体系模式。”他接着说：“我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源……数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了西方宗教哲学的特征”。这里“数学方法”就是思维的形式正义——形式逻辑的方法。资本主义之所以能够在欧洲发展壮大，与资本主义的精髓——合理计算是分不开的。
 
3.中世纪、近代逐渐发展出了科学的归纳逻辑

希腊人的逻辑虽然在古代社会里没有形成绝对的优势，就随着希腊与罗马社会的衰落而沉寂了。但它作为文化基因一直存活着，并且渗透进了基督教神学里而进一步扩展。在中世纪的欧洲，逻辑成为进入神学院必须学习的“三艺”（文法、修辞和逻辑）之一。由于基督教的发展，逻辑的应用也得到了进一步的推广。当然，这一时期最主要的应用还是进行教义的分析和论证。例如，著名神学家安瑟伦就用逻辑给出过上帝存在的本体论证明。到了中世纪中、后期，大学纷纷产生，而逻辑则成了大学的公共基础课，逻辑的应用得到了更加广阔的发展。

文艺复兴后，人们开始觉察到演绎逻辑无法处理自然科学研究中的因果问题，为此，逻辑学转向归纳法研究。这导致了归纳逻辑的诞生，其标志是1620年培根《新工具》的出版。一看书名便知，他要把自己的逻辑与亚氏逻辑学相提并论，但其目标是寻求面向自然科学的逻辑。到19世纪，英国哲学家穆勒将培根方法发展成为完整的求因果联系方法，人称“穆勒五法”，现在被视为归纳逻辑的一部分。

进入近代，逻辑学在思想研究领域的一个重要应用成就在于催生了近代科学。伽利略（1564-1642）在希腊化时代重视经验传统的基础上，创立的实验数学的逻辑方法。这主要体现在他在斜面实验得出惯性原理的研究中，他不可能真的做一个无限长的斜面。于是，伽利略就采用了逻辑的方法，弥补了实验条件的限制。伽利略根据亚里士多德的轻物的加速度慢、重物的加速度快的理论，假设：若把两物捆绑起来自由落地，其加速度会有2个，一为慢于重物的加速度（被轻物拖了后腿），一为快于重物的加速度（捆绑物比重物更重所以应更快）。加速度有两个数字，显然自相矛盾。为了消除矛盾，落体加速度必为常数。从而否定亚里士多德的物理学结论。因此，罗素的老师怀特海（1861-1947）说，没有逻辑就没有科学。

三，现代数理逻辑和电脑思维新阶段

17世纪，算术因符号化促使了代数学的产生。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是，笛卡儿（1596～1650）尝试把逻辑代数化。

现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹（1646-1716）。莱布尼兹揭示了关系判断的性质，扩大了演绎推理的学说，提出了使逻辑数学化的光辉思想。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。这正是数理逻辑的总纲领。

真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔（1815-1864），1847年他出版了《逻辑的数学分析》，建立“布尔代数”。布尔思考，如果把物的性质和类以符号来代替，就具有了代数的形式。比如，黑色是x，马是y，那么黑马就可以用xy来表示。接着布尔发现，日常逻辑中，黑色和黑色放在一起，仍然是黑色，即xx依然表示的是x。而对于符号逻辑而言，当x表示一个类的时候，xx=x同样为真，于是xx=x成为布尔代数的一个基本规则。不过布尔又发现，这个运算规则与普通代数运算规则是不同的。因为在普通代数中，x与x相乘，得出：xx=x2。布尔继续思考，要使xx=x公式在普通代数中有效，x只能是1或者0，他们在普通代数的运算表示为0×0=0、0×1=0、1×1=1。所以，所谓布尔代数就是有关0、1二进制的普通代数。

布尔的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类。xy表示x和y的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法。x＋y表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。所以，逻辑命题可以表示如下：凡x是y，可以表示成x(1－y)＝0；没有x是y，可以表示成xy＝0。它还可以表示矛盾律 x(1－x)＝0；排中律x＋(1－x)＝1。布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是类而是命题，则x＝1表示的是：命题x为真；x＝0表示：命题x为假；1－x表示x的否定等等。

一个有效三段论的例子可以表示为：
小前提：所有x都是y（xy）                 所有马都是动物
大前提：所有y都是z(yz)                   所有动物都有生命                 
结  论：所有x都是z(xz)                   所有马都有生命

根据形式逻辑的原则，所谓“有效”，是指忽略内容，只关注形式推导有效，即不管x、y、z是驴是马，只要两个前提为真，结论也为真。现在我们用布尔代数证明三段论有效：小前提说，“所有x都是y”，即x中的每一个东西都属于y，可以表示为x=xy；同理，大前提可以写成y=yz，我们得到x=xy=x(yz)=(xy)z=xz，略过中间过程，x=xz就是我们想要得到的结论，即“所有x都是z”。

对现代数理逻辑贡献最大的是德国耶拿大学教授、数学家弗雷格(1848～1925)。弗雷格在1879年出版的《概念语言》一书中不仅完备地发展了命题演算，而且引进了量词概念以及实质蕴涵的概念，他还给出一个一阶谓词演算的公理系统，这可以说是历史上第一个符号逻辑的公理系统。

1889年意大利数学家皮亚诺（1858-1932）出版了他的《用新方法陈述的算术原理》一书，引进最原始的算术概念是“数”“1”“后继”和“等于”，并且陈述了关于这些概念的九条公理。这就是现在众所周知的皮亚诺公理。最后一条公理即公理9，就是所谓数学归纳法原理，他用类的词句来表述，其中包含一个类变元。

1910年至1913年间，罗素（1872-1970）与怀特海集前人之大成而著《数学原理》。此后，经过许多人的努力，形成了现代数理逻辑，它包括公理集合论、证明论、递归函数论和模型论四部分，它们又都以命题、谓词演算为基础。

现代逻辑促成了现代信息技术的产生。1938年，现代信息论创始人申农发表了论文《继电器与开关电路的符号分析》，分析用到了布尔代数。电话交换的开、关操作与布尔代数的0、1推演有相似性，于是他把布尔代数的真（1）、假（0）和电路系统中的开、关对应起来，优化了开关电路。这篇论文确立了计算机运算的基础，即现代逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，只有0、1两种状态。因为所有电器电路的运行，包括计算机在内，归根到底都是由开和关、导电和断电等两种基本操作构成。进一步而言，利用布尔代数的“逻辑乘”、“逻辑加”和“逻辑非”的运算法则可以将电子元件组成三种“门电路”模块，即构成逻辑元件。利用三种最基本的逻辑元件可以组成各种复杂的逻辑关系网络，使得电子器件具有演绎推理的功能。如果逻辑网络由几千万个电子元件组成，就构成了计算机的硬件基础——集成电路。所以布尔代数的运算特点和计算机运算模式完全一致，是计算机内部运算的逻辑基础。

布尔代数转化为开关代数后，1944年，美国以此为原理制造出了冯.诺依曼（1903-1957）型电子计算机。美国著名数学家马丁.戴维斯撰写的《逻辑的引擎》一书，详细展示了逻辑在计算机科学诞生和发展中的理论作用。自20世纪80年代开始，美国国家科学基金联合康奈尔大学、宾夕法尼亚大学以及卡内基梅隆大学编辑出版了“计算机科学与应用逻辑进展”丛书，充分展示了数理逻辑之于计算机科学应用的成就。