兔、蛙、鼠之战的函和
——试论哥德尔不完备性定理证明的失误与第三次数学危机的余波

（薛载鹏，2017年3月29日启笔，4月6日续成）

【内容摘要】
本文简述了由“第三次数学危机”引发的西方数学界三大学派关于考察数学基础的论战过程，在函学思想下对三大学派的观点进行有机融和，并指出哥德尔不完备性定理证明过程中出现的逻辑失误。

【关键词】
数学基础 逻辑主义 直觉主义 形式主义 不完备性定理


随着各种数学悖论的发现，“第三次数学危机”爆发后，人们开始对数学基础加以严密考察，数学家深信此次危机涉及数学的根本。从1900到1930年左右，西方数学界出现了所谓三大学派的相互论战，被戏称为“兔、蛙、鼠之战”。

一、兔子：罗素的逻辑主义

弗雷格与罗素都相信数学可以化归为逻辑，而弗雷格因意志不坚，在罗素悖论面前消沉了十多年，终于放弃了逻辑主义的立场。为解决集合悖论，罗素提出了“分支类型论”的方案，不过其过程之繁琐、效率之低下，正如庞加莱挖苦的那样：“逻辑主义……让人受不了。”根据罗素的思想，“A∈A”这种表达是无意义的，他的这种说法当然不能够令人满意。

俗话说：“兔子不吃窝边草”，但是罗素这只兔子偏要吃，他舍近求远（简单问题复杂化），自己拆自己的台，不得不饮下自酿苦酒；然而任何事物均有两面性：悖论一方面令人畏惧不前，甚至意志消沉（譬如弗雷格），待消沉之日久已，一些人竟然接受悖论是自然的谬论！另一方面则激发有识之士的思维兴趣，努力寻找解悖途径。罗素悖论的解决虽然是踏破铁鞋无觅处，最终却得来全不费工夫（利用函变逻辑），此谓之“兔子悖论”。

罗素于是请怀特海予以帮助，后来二人共同完成三卷本巨著《数学原理》。这本大书相当令人厌恶，以致罗素本人在回忆那段岁月时也不得不宣称他与怀特海“都以一种厌恶的心情来回避数理逻辑了。”

《数学原理》当然存在许多问题。例如被罗素视为逻辑公理的“无穷公理”其实并不是逻辑公理；还有集合论是否是逻辑，在此问题上，人们不赞同罗素认为的那样，即集合论是逻辑。至于罗素后来提出的“类型含糊原则”和“可化归原理”，就更差强人意了。

二、青蛙：布劳威尔的直觉主义

布劳威尔是另一种极端。在他之前，克罗内克是直觉主义的先驱，而布劳威尔则把“数学直觉”给极端化了。他的一个著名论断“逻辑依赖数学，而非数学依赖逻辑”，恰好是把逻辑主义者的“数学化归为逻辑”的观点完全颠倒了过来。

哲学史上，康德对数学的研究也倾向于“直觉主义”。康德认为，算术是关于时间关系及其规定的科学，必须要以先天的时间直观形式为前提才能说明。

在这一点上，布劳威尔认为的数学直觉来自于时间，并通过人的记忆而得以保存，与康德的观点有相似之处。

但布劳威尔采取的是激进的立场，为了要保证数学基础的完全可靠性，他认为直觉主义者必须“借助于可信性进行思考”，数学概念在“主观直觉上的可构造性”是可靠的唯一标准，“存在必须等于被构造。”为此，直觉主义者必须依据“可靠性”的标准对全部数学进行彻底审查和改造。这一庞大而繁琐的工程计划与布劳威尔本人的颠覆性思想使其成为了“数学界的尼采”。

尽管布劳威尔提出的“实数生成子”，特别是在1918年引进的“展形”概念完成了其依据构造性标准建立实数理论的工作很有启发式的巨大价值，但总体上说，布劳威尔的直觉主义“结果却彻底失败了”。

布劳威尔把包括无理数、函数、数论函数和康托的超限数在内的大部分传统数学知识宣布为不合法，由此固然遭到绝大多数学家的反对，他的失败也就成为了必然。

希尔伯特的学生，外尔也站在直觉主义者的阵营里，这个怀疑数学基础的人甚至认为整个数学大厦“都建立在沙堆之上”。数学基础问题研究的重要性由此可见！

从数学哲学的高度看，直觉主义有其合理之处，但它终究只是片面的真理。

三、老鼠：希尔伯特的形式主义

1899年希尔伯特在《几何基础》中建立了希尔伯特公理体系，这标志着欧几里得几何的逻辑体系完善化的终结和形式化公理体系的诞生。在这一体系中，需要研究的只是对象之间的关系，而不是对象的特定意义，其直观背景被完全抛弃，而成为“抽象的公理系统”。其后，公理化结构成为现代数学的主要特征。

希尔伯特考虑到公理体系的合理性判定问题，他提出了三条标准：
1.相容性，无矛盾性，一致性（这其实就是形式逻辑中的同一律、矛盾律和排中律的变形与应用）；
2.独立性（每条公理之间保持绝对独立）；
3.完备性（或称“完全性”）。

为了证明公理体系的相容性，希尔伯特采用“解释法”（或称“模型法”）：将欧氏几何的相容性化归为实数系统的相容性，进而又化归为自然数算术系统的相容性。（不过他就此止住，再也无能为力了，就像在“物自体”面前康德的踌躇不前一样。）这就是1900年“海德堡计划”的所谓希尔伯特23个问题中的第2个；之后其“证明论”思想产生。

1922年，为应对直觉主义者向传统数学的挑战，希尔伯特提出“希尔伯特规划”，这标志着元数学的诞生。

希尔伯特规划使公理化理论与其逻辑彻底形式化：数学对象的意义被完全抽离，成了纯粹的形式符号。他把古典数学理论T转化为形式系统TF，再对TF进行研究形成元数学证明论体系Tm；不过必须要坚持“有限性”立场，不能使用“超限归纳”、“无穷公理”、“选择公理”等有争议的原则，不能涉及无限多的结构性质和公式操作。这可以说是对康托无穷集合论的反动，同时也为后来哥德尔不完备性定理的证明埋下了逻辑隐患。

希尔伯特把一切数学基础问题转化为算术系统的相容性问题，然而这个令他头疼的最为关键的问题直到1927年还没有得到证明。不过他始终非常乐观，1930年他还重申了他相信证明论可以达到这一目标。

不料几乎与此同时，哥德尔的不完备性定理就打破了包括希尔伯特在内的几乎所有形式主义者的梦想。

四、蛇：函哲学的函变逻辑对数学基础问题的态度

对于数学基础问题，函家采用的是向来一贯的函和主张——函纳一切合理的观点，抛弃一切不合理的意见。

逻辑主义的代表人物罗素和怀特海的公理逻辑化思想较为温和、公正，被称为“兔子”十分贴切。直觉主义这一学派的开创者布劳威尔在处理数学基础问题上的态度较为激烈、武断，被比喻成“青蛙”正好适合。而希尔伯特，这位无冕的帝王——被人尊奉为“数学界的亚历山大”——却被形容成老鼠，难道仅仅是其拥趸者之多（希尔伯特的学生人才辈出）的缘故么？我们从另一个角度想，老鼠作为十二生肖之首，当然应具有公正廉明、一呼百应的领导力。作为形式主义与元数学的创始人和奠基者，希尔伯特明智地接受了逻辑主义者提供的分析技术基础，这比逻辑主义更进一步。

函变逻辑看到了三大学派各自的长短之处，像一条无所不吃的“贪食蛇”一样吞纳这三大学派的合理观点，经过一番细密的消化和吸收，“排泄”掉那些不甚合理的观念。当然，对于蛇来说，老鼠和青蛙最对胃口。

利用蛇天生的狡黠的智慧，我们来评判一下三大学派的得失。

1.逻辑主义者认为：
(1)少量逻辑概念能定义大部分甚至全部的数学概念；
(2)少量逻辑法则能演绎出主要的甚至全部数学理论。

也就是说，逻辑是数学的基础，而逻辑与数学之间不可能划出一条界限来，因为二者实际上是一门学科：“逻辑是数学的少年时期，数学是逻辑的成年时期。”

在函变逻辑看来，这种说法是可取的。逻辑主义的合理成分被后来希尔伯特的形式主义继承和发展了。

2.直觉主义者的最大缺陷是容易步入独断论，倘若连“数学直觉”都被认为是不可靠的，那么只有付诸神秘主义或者神学了，这显然不是解决问题的有效办法。

布劳威尔与罗素的看法刚好相反，他认为“逻辑不过是一种具有特殊的一般性的数学定理。”

函变逻辑则指出，由于各学派对“逻辑”这一概念的模糊甚至完全不同的认识，所以导致逻辑与数学的关系扑朔迷离。下文我们将着重探讨这一重要问题。

布劳威尔的观点当然有其合理的根据，他的“可信性”说法很有一定价值，认为我们应该“毫不犹豫地舍弃那些不可靠的概念和方法”，指出构造数学证明必须要求在有限步骤内可以确定到任何需要的精度；这一点和希尔伯特有些类似了。

布劳威尔的另一大缺陷是他否定排中律，函变逻辑指出，他没有理解排中律的真正价值。布劳威尔也反对康托的实无限，这一点和函变逻辑一致。

3.形式主义看来是暂时的胜出者，然而“鹬蚌相争，渔翁得利”，1930年，就在希尔伯特收获胜利果实的前夜，著名的不完备性定理使哥德尔与其后的数理逻辑成为此次数学大战的最终赢家。

我们再来简述一下形式主义的主要观点。希尔伯特为了证明欧氏几何的相容性，采用的是一种间接证明的方法，他把一个公理系统的相容性转化成另一个公理系统的相容性，也就是化归法，又称为模型解释法。

形式主义吸收了逻辑主义和直觉主义的合理观点，但它自身仍有其埋藏至深的思想隐患。这一点我们在后文提出。

五、逻辑与数学的关系

函学指出，形式逻辑是静态的逻辑系统，辩证逻辑是动态的逻辑系统，而函变逻辑则很好地融和了这两种逻辑为动-静逻辑系统。

函变逻辑认为，由于“一切皆变”，人类思维要想处理某一变化着的事物，就一定是把它假定成静止的不变的事物（形成概念），这就是“定格”。

辩证逻辑虽然是一种动态的逻辑系统，但是为了保证思维的有序和明确的进行，必须首先对其思维对象进行“三点论”式的分析，把辩证逻辑化归为形式逻辑，只有满足了人类思维三大规律即同一律、矛盾律和排中律，我们才能进行正确、有效的思维和表达。

这也就是说，人类的一切思维最终都要化归为同一律、矛盾律和排中律，不能有任何形式的违反。所谓“量子逻辑”（又称“三元逻辑”）是不可能的，它归根结底是一种逻辑谬误；只要人类的技术水平足够高超，“既在又不在”这种状态在某一时刻是一定能够明确的。

函学把逻辑系统分成两大部分，采纳的是罗素的分类方法：概念和法则。概念就是逻辑的对象，是命题的组成部分；法则就是纯粹形式关系，是命题的推理部分。

函变逻辑指出，一切逻辑体系最终必然要归结为这两大部分。概念必须要保证时刻符合同一律；而在推理过程中，依据的法则无非就是矛盾律和排中律，除此之外，别无其它。推理法则的纯粹形式就是亚里士多德的三段论，除此之外，再无其它。

因为人类的一切思维判断活动都要涉及形式逻辑三大规律和三段论，而数学研究是一种思维判断活动，所以数学研究是一种逻辑思维活动，它必然也要符合三大规律以及三段论的所有内容。

由此，我们对于罗素和布劳威尔关于数学与逻辑的谁更具优先地位的问题给出完美的解答：形式逻辑是人类思维的基础，一切数学问题都要由此推导出；数学定理和一切其它数学问题无非就是形式逻辑三大规律和三段论的变形与融合的反复利用。

推而广之，人类理性思维的一切形式问题都要由这三大规律和三段论推出；科学论证也要保证在这些规律的基础上进行。从中我们可以看到人类理性思维的局限。

六、哥德尔不完备性定理证明的逻辑谬误

作为“最终”的胜利者，哥德尔用希尔伯特的证明论方法“证明”了希尔伯特纲领的“破产”。然而，正如我们前文已经提到的那样，希尔伯特的所谓“证明论”体系是隐含有问题的，它引发了哥德尔证明过程中致命的逻辑硬伤，现在函变逻辑明确地指出来，那便是：循环论证。

哥德尔的不完备性定理的证明把证明论方法运用得淋漓尽致，他以希尔伯特之道还治希尔伯特之身，把希尔伯特的形式主义纲领批驳得面目全非。真理似乎就掌握在哥德尔的手中！然而，“螳螂捕蝉，黄雀在后”，函变逻辑指出了哥德尔证明的逻辑谬误。

下面我们来具体分析一下哥德尔第一不完备性定理的证明。哥德尔第一不完备性定理是说，任何一个足以包含自然数算术的形式系统，如果它是相容的，那么它必然存在一个不可判定命题，即存在一个命题S，使得S与非S在这个系统内都不可证明。用元数学的语言可以表述为：如果形式系统P是一致的，那么P是不完备的。

哥德尔的总体证明思路是：“从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限序列。对于元数学来说，究竟用什么东西作为基本符号当然是没有关系的。我们不妨就用自然数作基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而一个证明便是一个有限的自然数序列的序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或其序列的基本概念（命题），从而即可（至少是部分地）在对象系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’‘证明’‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。”

哥德尔把自然数算术形式系统的问题转化为关于自然数（哥德尔配数）的问题，然后再用算术系统自身来解释所有问题。——这就是典型的循环论证，也就是论题和论据相互依赖，其结果就是谁也证明不了谁。循环论证是一种逻辑谬误，它使得整个证明过程没有丝毫进展，虽然摆出了一副论证的样子（无论其“论证”过程是如何巧妙、精致），但论证过程不会取得实质性的进展，并不能说清楚问题。

由于哥德尔的证明方法新颖、步骤繁复、不易理解，一般的数学家和逻辑学家没有看出来存在问题：他们都被哥德尔炉火纯青的数学技巧给骗了！哥德尔分明是弄巧成拙，函变逻辑必须要明确指出，哥德尔的证明是一种循环论证：直观算术T（数论）用形式系统TF表达，形式系统TF的表达可以转化为元数学Tm的表达，元数学Tm的表达又转化为算术系统T内的表达；这样，自然语言的表达Tm、形式系统的表达TF和数字的表达T融为一体。

三者之间可以作一一映射：TF→T，Tm→T，T→TF，元数学Tm自身在形式系统TF内部发展出来，系统外部问题转化为系统内部问题，从系统外部讨论系统转化为系统内部的证明，也就是形式系统实现了自相关。

哥德尔证明得出，形式算术系统中的命题与其在元数学中的通过配数法和数字表达得出的相应命题同真假，这一点很容易理解。

从而就可以在形式系统P内构造出一个自相关的命题G，由其所表达的元数学命题G'表达，命题G'为：“G在形式系统P内不可证明。”

问题的关键部分来了！哥德尔认为，命题G为真，但是它却在P中不可证，即在形式系统P中，G与非G是不可证明的。理由如下：
(1)假设G为假，那么G'为假，由G'的内容“G在P中不可证”为假，推出G可证，因G在P中可证，故G为真，与假设矛盾，从而命题G为真；
(2)命题G为真，则G'为真，G'表示“G在P中不可证”，故命题G不可证；
(3)命题G为真，也非G为假，因假命题无法在P中推出，即不可证明，故非G不可证。

命题G被称为“不可判定命题”，从系统外部看，G为真，但是它无法在系统内部得到证明。由此，哥德尔得出形式系统是不完备的，因为如果系统是完备的，它就可以在系统内部证明所有的数学命题。显然，命题G不可证明。

果真如此吗？我们来分析一下，哥德尔的证明过程到底是哪里出了问题。

假如命题G在形式系统P中是可证的，这就可以通过算术系统T与形式系统TF之间的映射T→TF证明，直观算术命题T在P中是“数字可表达的”，也就是命题G可以得到证明，所以G为真。反之，如果G为假，那么它在P中就不可证明。

哥德尔构造的这个关键命题就是G'：“命题G在P中不可证明。”也就是G为假，但是从G'中又推出G为真，逻辑矛盾，所以这是一个数学悖论。

引起悖论的原因就是哥德尔利用了理查德悖论的思想，理查德悖论属于语义悖论，一切语义悖论都是违反“同一律”造成的，它们都可以化归为说谎者悖论：“我正在说谎。”语义悖论由于命题概念的内涵与外延不明确，所以极其容易违反同一律。哥德尔悖论的实质和这个悖论是一样的：“这句话是假的。”

事实上，命题G是形式系统内不可证的命题，而不是“不可判定命题”，因为我们在系统外部仍然能够判定它为真。悖论“这句话为假”这一命题的真假才是真正的“不可判定命题”：因为推理的依据十分有限（甚至就没有任何证据），以至于我们根本无法作出有效推理；对于一个不可知的问题，如果我们还要假装知道，试图去推断它的真假，那必然是在瞎胡闹了！

哥德尔的证明同样违反了同一律。命题G'表示：G在P中不可证明。这里，命题G就是一个内涵与外延不明确的概念，它不是直谓概念，所以容易违反同一律：凡是在前后证明过程中，G的内涵与外延稍有不同，就是违反了同一律。而命题G根本就是一个无效概念，它的内涵与外延没有明确，故在此基础上的一切推论都是毫无意义的。哥德尔的证明不攻自破。

进一步我们发现，哥德尔构造的命题G'是在形式系统P外部的，本不可以在系统P内得到证明，但是哥德尔硬要通过蹩脚的映射关系把二者统一起来，结果必然造成悖论。

当然哥德尔还是“证明”了一些问题的，这便是哥德尔第二不完备性定理：如果形式系统P是一致的，那么它的一致性无法在P中得到证明。

歪打正着的哥德尔由于两次逻辑谬误相互抵消，所以得出了一个正确的结论：这个结论是相当有价值的。通俗的说法就是，我们不能在一个自洽的系统内部证明该系统的错误之处，我们也无法在系统内部证明其自洽性，必须要在高一层次的思维中才能得到“证明”；这个高一层次的思维，就是直观，就是信仰，它是存在的问题，属于神学的范畴。这也正是“真大于可证明”的真正内涵：信仰本身是实实在在的，然而它却不可能在理性思维中得到证明。

哥德尔的“伟大”发现就是：在一个形式系统内用该系统证明了在该系统内无法证明该系统内可表达的所有命题都是可证的。其证明属于循环论证，而循环论证归根结底是违反了同一律，也就是概念的内涵与外延没有得到明确。

既然逻辑上出现悖论，那么在哥德尔的所谓第一不完备性定理的具体证明过程中的一切崭新、巧妙、精湛的数学技巧也就不值一提了。

七、函变逻辑的启示

函变逻辑指出，一个命题要想保证有意义，那么其中包含的逻辑对象即概念就必须是明确的，也就是这个概念的内涵与外延必须保持不变，而且是已知的，这同样是对同一律的严格遵守。哥德尔的证明是对同一律的违背，康托的无穷集合论也是对同一律的违背，所以出现数学悖论也就自然而然的事了。

一切数学问题都必须要严格遵守同一律，希尔伯特规划就是要遵守同一律的具体表现：元数学是利用有限的方法，证明从古典数学理论中抽象出来的形式理论的一致性。希尔伯特规划不但没有失败，而且我们也应该继续完成希尔伯特的梦想：“我们必须知道，我们必将知道。”而对于那些我们根本不可能知道的问题，譬如上帝、无穷问题（康托尔和哥德尔都涉及了无穷）等，即使我们再努力，也终将一无所获。

命题可以划分为两大类：可判定命题和不可判定命题。可判定命题一定能够判定其真假，例如科学问题、古典数学问题；不可判定命题又分为两种：推理条件不充分的命题，例如说谎者悖论、，另外就是信仰之类的神学命题，例如上帝。无穷属于信仰，它是神学问题，不是数学问题，数学家和逻辑学家要与神学划清界限。

函学告诉我们，在任何思维过程中，一定要坚持“实事求是”的原则，“知之为知之，不知为不知。”可知就是可知，不可知就是不可知，千万不可混淆界限，造成不必要的后果。

【主要参考书目】
[1]俞明三：《和谐哲源新说：函学纲要简编》，学林出版社，2012
[2]俞明三、俞晓鹏：《三点论：新体系哲学》，学林出版社，2005
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[4]霍华德·伊夫斯：《数学史概论》，李文林译，哈尔滨工业大学出版社，2013
[5]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》，张理京、张锦炎、江泽涵等译，上海科学技术出版社，2009
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[9]维特根斯坦：《数学基础研究》，韩林合译，商务印书馆，2013
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