函变逻辑试析数学危机
——无穷悖论与集合悖论的解决

（薛载鹏，2017年3月28日）

【内容提要】
文章结合两次数学危机出现的悖论进行函变逻辑的分析，针对无穷问题尝试把会计学中的“可比性”概念借鉴、提升到数学哲学的高度，并很好地解决了有关无穷和集合的悖论，以为数学奠定牢固的哲学根基提供可能。
【关键词】
函变逻辑 时空参变 同一律 可比性 罗素悖论 芝诺悖论 集合 无穷 康托

一、函学对悖论的认识

悖论是人类思维暂时存在的矛盾，而数学悖论则是所有思维矛盾中最集中、最直接和最纯粹的。函学从人类思维最基本的三大规律（即形式逻辑中的“同一律”、“矛盾律”和“排中律”）出发，指出只要严格遵守这三大规律，便能避免任何形式的逻辑悖论。函变逻辑是函学融合“静态的形式逻辑”与“动态的辩证逻辑”而形成的精致的逻辑系统，可应用到人类理性思维的一切领域。

函学指出，“一切皆变”，“一切都是时间的函数”，“不变”只是人类思维对“变”的“局域定格”。具体时空是不断变化的，而一经人类思维的抽象，它就被定格了，成为静止的不变的抽象时空。数学中的绝大多数概念就是这种抽象时空的某种体现，它们在人类“思维约定”的时间之内是固定不变的。

函变逻辑认为，悖论的产生无非就是人类思维误将不同的“时空”进行错位引起思维混乱，从而形成暂时的逻辑矛盾。这里的时空包括现实中的具体时空和经人类思维定格处理后的抽象时空；只要是将不同的时空混为一谈，都可以统称为“时空错位”。解决悖论的方法，理所当然地就应该是保证在不同的时空表述“同一事物”：该事物是被思维定格成静止的了，它已不同于原来现实时空中的那个变化着的事物。这其实就是逻辑学三大定律中的“同一律”的真正应用，即被定格为静止的事物必须要保证它的内涵与外延的完全不变，才有可能被人类思维正确地理解和表述。

二、罗素悖论的解决

罗素悖论引发了所谓“第三次数学危机”，它与一切其它的集合悖论，都是违反同一律或排中律而造成的。只有时刻遵守同一律，才不至于在思维过程中出错。我们来具体分析一下罗素悖论。

1.理发师悖论

首先讨论罗素悖论的一个通俗版本“理发师悖论”：某村的一个理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，并且只给村里这样的人刮胡子。现在问：这位理发师是否应该给自己刮胡子？罗素自己的回答是：如果理发师给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则，因此不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，那么按原则他就应该给自己刮胡子。

这里罗素违反了同一律，他把两个不同的时空混淆在一起，从而导致悖论的发生。理发师的原则“只给所有不给自己刮胡子的人刮胡子”是一个抽象时空，它只存在于理发师的思维中，而没有发生在现实的具体时空中，他没有考虑到具体时空的多样性。

当理发师不给自己刮胡子的时候，这是一个具体时空，那么此时他属于“不给自己刮胡子的人”，按照原则，他应该给自己刮胡子，而此时的情景是另外一个具体时空，它与理发师的原则“只给村里那些不给自己刮胡子的人刮胡子”这一抽象时空并不存在矛盾，也不与前一个具体时空存在矛盾，在这一具体时空中，他才属于“不给自己刮胡子的人”。因为如果他没有给自己刮胡子，那么他就应该给自己刮胡子。

另一方面，当他给自己刮胡子时，这是一个具体时空，那么此时他就不属于“不给自己刮胡子的人”，按照原则，他不应该给自己刮胡子，这是又一个具体时空，它与理发师的原则即思维中的那个抽象时空不存在矛盾，也不与前一个具体时空存在矛盾。因为如果他已经给自己刮过胡子，就不需要再次给自己刮胡子了。

综合以上两个方面的分析，我们对“理发师是否应该给自己刮胡子”这一问题给出确切的答案，那就是：为了名誉和利益考虑（他要履行自己宣布的原则），理发师应该而且必须给自己刮胡子。

我们发现，函变逻辑在解决悖论时所采用的一个屡试不爽的原则——时空参变法，正是对同一律的有效应用。这种方法在马克思主义哲学中被总结成“具体问题具体分析”，在数学中则被称为“分情况进行讨论”。否则，如果不考虑具体时空的多样性，把不同的时空混乱在一起进行研讨，那么很容易出现各种谬误。

2.集合悖论的消解

我们再来看一下罗素悖论即集合悖论本身出现的逻辑谬误。

罗素认为，存在一些集合属于它本身，也存在一些集合不属于它本身。他构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。那么S是否属于S呢？根据排中律，一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合。但是，如果S属于S，根据定义，S包含所有不属于自身的集合，那么S就不属于S；相反，如果S不属于S，同样根据定义，S包含所有不属于自身的集合，S就属于S。罗素悖论似乎表明康托的集合论包含着逻辑矛盾。

1908年策梅洛提出的公理集合论为解决这一悖论做出了初步成功的尝试，然而这一尝试并未真正解决罗素悖论，而仅仅只是巧妙地回避了它。我们从函变逻辑的思想出发，则可以较为完美地解决这一悖论，使用的依然还是“时空参变法”和同一律。

“集合S由一切不是自身元素的集合所组成。”这是罗素对集合S的定义，我们认为，这个定义不够明确。众所周知，每一个数学概念的定义都必须足够的明确，也就是说，每个概念的内涵和外延都必须保证足够的明确和清晰。集合S是一个数学概念，但它的内涵和外延却没有明确，因此是一个无效概念。在此基础上推出的一切结论都是毫无意义的。

具体来说，集合S的内涵是“一切不是自身元素的集合所组成的集合”，而这里的“不是自身元素的集合”就是一个内涵不明的定义，它没有确定自身这一集合到底是什么样的集合。由此导致的集合S的外延必然也是不确定的，因而在推论中造成含义混淆不清，进而出现所谓的悖论。

如果进一步溯源追究罗素的责任，我们又发现了一些更为根本的逻辑谬误：罗素后来追述自己1901年的思考历程时写道：“一个集合既可能是也可能不是它自身的一个组成成员。”在这里，罗素显然违反了排中律。根据现代集合论的观点，这是一个错误的看法，一个集合A只能是它自身的一个组成成员，即A∈A，集合A不可能不是它自身的一个组成成员，集合A的一个子集可以是它自身。而罗素却构造了一个根本不可能存在的集合，即不是自身成员的集合所组成的集合，这一构造本来就是一个谬误，所以这是无意义的。

1906年，庞加莱指出悖论的产生和“非直谓”定义有关。非直谓是指被定义的对象被包括在借以定义它的各个对象中，也就是借助一个整体来定义属于这个整体的某个部分。非直谓定义极容易导致循环论证，罗素悖论就明显具有这种“反身自指”的特征。庞加莱找到了一种解决悖论的想法，但是他没有意识到罗素悖论产生的终极根源乃是罗素违反了排中律和同一律。维特根斯坦的解悖思想和庞加莱类似，他指出了一阶逻辑和高阶逻辑的区别，不过这还是罗素“类型论”的一种变形：“一个函项所以不能成为它自身的主目，因为函项的记号已经包含着其主目的原型，而且它不能包含自身。”

由以上分析我们得出，集合作为严密的数学公理体系的基础，必须要牢牢把握三大思维规律尤其是同一律。在函学中，同一律被解释为：由于客观世界和人的思维是不断变化着的，人永远只能在不同的时空中思考所谓的“同一事物”；所以要讨论这个同一事物A，必须保证事物A在不同时空中是完全同一的，也就是不变而明确的；在任何时空要想保证A=A，那么概念A的内涵与外延必须在不同的时空中保持完全相同。


三、康托的实无限观

“无穷问题是数学史和哲学史上的一大玩笑。”对无穷的本质的误解导致了由“贝克莱悖论”引发的“第二次数学危机”，并且这一危机波及“第三次数学危机”，甚至现代整个数学基础。有关无穷的悖论层出不穷，看来是时候揭露无穷的本质了！先来看一下有关无穷的数学悖论。

1.伽利略悖论
1636年伽利略在其《两门新科学的对话》中注意到：所有自然数与自然数的平方可以建立一个一一对应关系，这意味着平方数与自然数一样多。然而常识告诉我们，自然数比平方数要多许多，这似乎是一个悖论。

伽利略本人的解决方法是否认“自然数全体”这种说法，否认实无限的存在。早在古希腊时期，亚里士多德就认为只存在潜无限，而不存在实无限，因为无限多个事物不能构成一个固定的整体。人们没有注意到的是，伽利略已经很好地为解决这一悖论而跨出了一大步，他在那本书中继续写道：“依我所见，我们只能推断平方数的个数是无穷的，它们的根的个数也是无穷的；平方数的个数不比所有数的个数少，后者的个数也不比前者的个数多；故‘相等’、‘大于’和‘小于’不能应用于无限量。”

2.康托与伽利略悖论的交锋
无穷数和实无限自古以来在数学中就是不允许的，高斯曾明确表示：“我反对将无穷量作为一个实体。”而康托却逆时代之潮流，为了创立无穷集合论，又把实无限引入数学中；他重新接收了无穷问题这个烂摊子，从此一发不可收拾。

走火入魔的康托采用的一个重要方法：利用数与点的“一一对应的关系”，以此来构建他的庞大的无穷乌托邦。接下来，一系列不必要的问题如无穷的魔鬼随之一同散布在整个数学王国的上空，久久不肯离去。超限基数和超限序数就是这样一群魔鬼的两大头目，而康托本人则成为“数学界的撒旦”。在反对康托实无限观的人看来，这简直就像“位神秘兮兮的年轻学者搞的一场浪漫而荒唐的恶作剧。”庞加莱也不愿接受，他说：“总有一天，康托的集合论会被看作一种被征服了的疾病。”看来，这一天就要到来了！

伽利略否认实无限的存在，因为承认会导致不合常识的悖论。那么康托是如何“解决”有关无穷的悖论的呢？简单的说，他是在数轴上找到与实数一一对应的点来，用每一个点对应每一个实数，通过类似的方法，他得到若干条结论：
(1)有理数与自然数一样多；
(2)同心圆中大小圆上的点一样多；
(3)单位区间与单位正方形内的点一样多。

好了，根据康托的理论，我们似乎可以得出以下结论：
(4)一条线段上的点与一个立方体中的点一样多；
(5)一个氧气分子中的点与宇宙中所有的点一样多。

我们可以总结以上结论，给出一个万能的表达式：∞=∞。无穷等于无穷么？实际上，两个集合虽然都是无穷，但是此无穷和彼无穷是不同的。这一点可以借鉴维特根斯坦的“家族相似”理论：两个集合的无穷只有家族相似之处，却不一定具有相同的本质。根据“量变引起质变”原理，数量的不同，可能将直接导致质的不同（关于无穷和“质量互变”原理之间的关系详见另文，此处观点有待商榷）；我们对于无穷是完全可知的么？如果是不知而硬要假装全知，那简直就是荒谬至极了！历史上许多哲学家譬如休谟、康德、维特根斯坦等都对此行为严肃批判过。

问题的关键部分来了！康托，甚至所有的数学家都忽略了这一问题的重要性，那就是：无限集合之间是否可以进行比较？函学针对这一问题，借用一个会计学概念——“可比性”，把它上升到数学哲学的高度，使无穷问题得到彻底解决。

四、集合基数的可比性

我们来回顾一下伽利略悖论：自然数与自然数的平方数一样多。这里至少存在两个无限集合，集合{X|X=Xn,n∈N+}和{Y|Yn=Xn²，n∈N+}。这两个集合{X}与{Y}是否具有可比性？即两个无限集合之间是否具有可比性？我们的回答是否定的！两个无限集合的基数不具有可比性，它们的元素的个数不能进行大小比较。

我们是基于什么样的理由而得出这样的结论的呢？正是函变逻辑。我们都知道，无穷大并非一个确切的数，更不是康托所谓的“超限基数”，它只是一个具体的函数y=f(x)，每一个函数又各有不同（各种f可以类比为家族相似），而函数的一个很明显的特征就是函数值随着自变量的变化而变化，所以它不是一个固定的数。无穷小也是同样的道理。

由于函数的自变量没有确定，所以函数值也就没有被固定下来，我们便不知道两个具体的函数值，从而无法进行比较，也就是不具可比性。

线段上的点，甚至直线、平面、立体中的点的数量都是无穷的，比较这些点的多少事实上毫无意义！这些“点”既不是谁多谁少的问题，也不是全部相等的问题，而是不具有可比性、完全无意义的问题。这些点全都是不可数的！

但康托却“证明”正偶数集、整数集、自然数的平方的集合因为能与自然数建立一一对应关系，所以都是可数集；而实数集由于不能同自然数集里的元素建立一一对应关系，所以属于不可数集！事实上，只要是有限集合，那么它就是可数的；相反，只要是无限集合，那么它就是不可数的。当然，对于可数与不可数，我们和康托的定义是大不相同的。不过在现代集合论中，康托的可数集与不可数集理论仍不失其合理之处。

然而康托又进一步创造了无限集的无穷谱系，在对无穷问题的研究过程中，他为了保持理论的自洽性，不惜牺牲一系列经验和常识，例如完全抛弃“整体大于部分”这一传统观念。

对无穷问题的模糊认识，直接导致了1924年巴拿赫-塔尔斯基悖论：从直观上说，任意一个球体都可以被分成有穷多份后重新组合成两个与原来一样大小的球体。这一怪异的结论完全与人们的直觉相冲突！

这里涉及了无穷问题和ZFC公理系统中的选择公理的问题。如果说现行的公理集合论如ZFC系统和BG系统可以完全排除掉已知的数学悖论，那么谬误则恰恰体现在无穷问题上。函学提出的“可比性”则很好地解决了无穷带来的一系列问题，关于无穷的所有悖论也都可以一劳永逸地消解。

鉴于康托无穷集合论面临诸多数学基础上的不甚合理之处，那么建立在此基础上的连续统假设（CH）的意义就很可值得怀疑了。

五、无穷悖论的解决

我们再来看一个有关无穷的经典悖论——芝诺的“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯A（在B后面A0处）与乌龟B进行赛跑，乌龟B先爬行一段距离到A前方B0处，设A0B0=10m，在阿基里斯A追上乌龟之前，他必须先达到乌龟的出发点B0，而在这段时间内，乌龟B又爬行了一段距离，比如10cm。A又要赶上这段距离，而此时间内B又爬行了一段距离，比如1cm。于是，A距B越来越近，但永远不可能真正追上B。

罗素后来采用康托的无穷集合论“发现”了芝诺这一论证的错误所在：“在跑过相同的点与多跑一段距离之间是完全可以相容的，因为不等长的两线段具有相同的点。”

无穷集合论的思想之害可见一斑！函学认为，由于两条线段上的点都是无穷多数的，所以二者不具有可比性，故论“点”的多少是毫无道理的。函变逻辑是如何解决这个悖论的呢？

既然点的数量是无穷的，不具有可比性，所以不应当从“点”入手，而必须要换一种思路，但是我们必须首先要坚持的是同一律和时空参变法：

根据常识，我们肯定会认为阿基里斯A能够追上乌龟B，在C点处，A追上B，如图所示。
在二者没有达到C点之前，A、B之间的距离越来越小，而达到C点之后，A、B之间的距离则越来越大，因为A的速度远大于B。

函学认为，对于一个无穷点的问题，我们不应当用除法进行计算，例如芝诺另外一个著名的悖论“二分法”：要走完一段距离，必须首先走完这个距离的一半，而要走完这个距离的一半，必须首先走完这个距离的一半的一半……所以为了走完全程距离，必须首先走完全程距离的½、¼……如此等等，以致无穷。由于不可能在有限时间内越过无穷多个点，所以永远不可能走完全程，甚至根本无法运动。

在函变逻辑看来，芝诺不愧是逻辑严谨的“弱智”（当然是故意的）。因为一条线段上的点是无穷多个，那么按照除法永远除不完，所以必须采用减法，即要想走完某段距离，必须一步一步地走完，而不是一半一半地走完。事实上正是如此！（如果一定要按照无穷的观点，人脚步的长度线段上的点也是无穷的，以无穷应对无穷，岂不正合适么？）这样某个距离便能在有限步骤之内走完。

同理，阿基里斯与乌龟也不是数“点”走完一段路程的。因为客观的事实是，阿基里斯与乌龟不可能匀速直线式的前进，只能变速曲线式的走完一段距离，两者走过的路程AC与BC必然能在同一时刻完成，这时两者都处于C点，即阿基里斯追上了乌龟。

由此我们还可以发现芝诺的另外一种根本性的失误：他把数学中抽象出来的“点”生搬硬套地应用于现实的具体时空中来，由于数学中的点没有大小之分，所以任何物体的点都是无穷多个，以抽象时空的概念去理解具体时空中的问题，这同样是犯了“时空错位”的毛病，也就是违背了同一律，所以悖论的产生也就不足为奇了。

至于“飞矢不动”悖论，则首先是前提假设的错误，不过这是另外一回事了。

六、小结

函变逻辑是一种高效的新逻辑体系，由函家哲学创始人俞明三先生创建，它是辩证逻辑的形式化表达及其精致化的升华。函变逻辑的核心就是“以不变应万变”，牢牢把握人类思维三大规律尤其是同一律的应用，在处理思维矛盾时灵活运用“时空参变法”，进行“具体情况具体分析”，从而避免不必要的佯谬的产生。

【参考文献】
[1]俞明三：《和谐哲源新说：函学纲要简编》，学林出版社，2012
[2]韩雪涛：《数学悖论与三次数学危机》，人民邮电出版社，2016
[3]张建军：《逻辑悖论研究引论》，人民出版社，2014
[4]陈波：《悖论研究》，北京大学出版社，2014
[5]亚里士多德：《物理学》，张竹明译，商务印书馆，1982
[6]维特根斯坦：《逻辑哲学论》，贺绍甲译，商务印书馆，1996
[7]罗素：《数理哲学导论》，晏成书译，商务印书馆，1982