逻辑即Logic，是指人类思维的必须遵循的原则与规则。逻辑学是关于思维形式正确、有效的学科。它告诉人们：只有合乎逻辑的思维才是正确的。逻辑学是古希腊哲学家亚里士多德创立的，包含四条基本规律，那就是同一律、不矛盾律、排中律和充足理由律。

一，逻辑最初的三大规律

1.同一律就是你在思考论证过程中，你所使用的概念、命题、观念等等，都要与自身保持同一，保持自身的确定性。用符号表示就是：A是A。“A”表示任一概念或命题，“A是A”表示同一思维过程中每一概念、命题都有其确定的内容，不能任意变换，要与其自身保持同一性。

同一律的思想起源于古希腊的哲学家毕达哥拉斯的思想。他说，万物皆数，世界是由数演化而来的，事物有内在的一致性。古希腊哲学家赫拉克利特说，人不能两次踏入同一条河流，世界是流变的和矛盾的，所以世界的本质是不一致的。苏格拉底否定了赫拉克利特而选择了毕达哥拉斯，这避免了西方文明走向“阴阳流变”的邪路。他说，世界不是流变的，流变是感官经验的假象，世界的真相是永恒的和一致的。柏拉图继承了苏格拉底的思想，他说，在现象世界之上存在一个永恒的理念世界。亚里士多德说：世界的本质是完整和一致性，任何事物一旦达到了完整和一致就会呈现出完美和谐，就展现了世界的本质。这样，“完整和一致”的思想经过亚里士多德变成了形式逻辑的同一律。这同一律不只是哲学和科学的标准，也成了艺术和审美的标准！ 

同一律的目的在于保证思维的确定性。而只有确定性的思维才可能是正确的思维，才能进行思想交流。同一律就是人与人之间寻找共同的语言即共同的概念体系，有了共同语言后，才会进一步对事物之间的关系进行讨论。如果人们违反同一律的逻辑要求，混淆概念或偷换概念、混淆论题或偷换论题，那就必然会使思维含混不清，不合逻辑要求，既不能正确地组织思想，也不能正确地表达思想。没有共同语言，一切都是白搭，就不可能产生公共理性、科学、文明。因此，遵守同一律的逻辑要求乃是正确思维的必要条件。

保持概念的同一，是指概念的内涵和外延必须保持同一，不能把不同的概念加以混淆。譬如说：“马是吃草的”，这个命题是正确的。但有人会反驳说：“死马不吃草”。在这里，反驳者将“马”换成了“死马”，是偷换概念，违反了同一律。

又如，“人”这个概念可以表示一个动物种类，也可以表示属于这个种类的每一个个体。如果在同一个思维过程中，你在第一种意义上使用“人”这个语词，就必须始终在这个意义上使用该语词；如果你也需要在第二种意义上使用“人”这个语词，必须指出它们之间的区别，强调这两个“人”字实际上表达了两个不同的概念，在它们之间不能任意转换和过渡。例如，从“人是由猿猴进化而来的，张三是人”，不能推出“张三是由猿猴进化而来的”，因为前提中的两个“人”字表达不同的概念。否则，就犯了偷换概念的错误。如墨子所说：“获之亲，人也；获事其亲，非事人也”。翻译：婢（获）的双亲是（亲）人；婢事奉她的双亲，不是事奉别人。两个“人”字的涵义不同，“双亲是人”的“人”指的是亲人，“非事人也”的“人”是外人，同一“人”字，前后的涵义不同，墨子却将它们混同起来，违反了同一律。 

物理老师问：“一炉铁水凝结成铁块，它的体积缩小了1/34。后来，铁块又熔化成铁水，体积增加多少？”甲计算，铁水=1，铁块=33/34；增加率=1/34/33/34，回答道：“熔化后的铁水的体积比铁块增加了1/33。”乙反对说：“不对。同是一块铁。缩小的是1/34，增加的是1/33，不是自相矛盾吗？”乙的说法错了。因为“增加”和“缩小”都是相对的概念。缩小1/34，是相对于铁水说的；增加1/33，是相对于铁块说的。乙混淆了概念，把“增加”和“缩小”这两个概念混同起来了，犯了混淆概念的错误。

又如：“这是一头小象，而那是一只大蚯蚓，所以，这只小象比那只大蚯蚓小”。蚯蚓的“大”、象的“小”是相对于它们自己的类来说，不能把不同类的动物的大小加以混淆。这个说法犯了故意混淆概念的错误，违反了同一律要求。

在同一思维过程中必须保持论题的同一，不偏题、离题、跑题，否则就会犯转移论题或偷换论题的错误。这种错误是在论证过程中以一个论题去代换原来的论题。比如，有人向执法人员质疑乱罚款的问题，执法人员说：“罚款本身不是目的，严格执法是为了维护人民的合法权益”。执法人员犯了“偷换论题”的错误。一官员说：“我以为中学生没有必要学习地理。某个国家的地形和位置完全可以和这个国家的历史同时学习。我主张可以把历史课和地理课合并，这样对学生是方便的。”他的错误是跑题，最初的话题是“中学生没有必要学习地理”，而随后所论述的却是另一个论题：“可以把历史课和地理课合并”。这就是一种混淆或偷换论题的逻辑错误。

转移论题是指在论证过程中偏离正题，转向某一次要问题，之后的论证往往再不会回归原题。例如：“考试分析采用曲线形式最为公平。无论如何，师生关系融洽的话，教学效果就更好。”不妨将这里的论证过程展开： 

论据：师生关系融洽的话，教学效果就更好。 

结论：考试分析采用曲线形式最为公平。 

这样就看得很清楚：论证偏离了正题——能使人融洽相处，并不一定就更公平；而正义有时需要通过矛盾冲突的摆平来实现。上述论证并未给出能够支撑“曲线更公平”的任何证据。 

2.不矛盾律。在同一思维过程中，两个互相矛盾的命题不能同真，必有一假。不矛盾律的公式是：并非“A且非A”。“A”表示任一命题，“非A”表示与“A”的矛盾命题。不矛盾律的公式表示：在同一思维过程中两个互相反对或互相矛盾的命题不能同真，其中必有一假。

不矛盾律的主要作用在于保证思维的无矛盾性即前后一致，不能自己跟自己打架，不能自我否定。保持思想的前后一贯性，乃是正确思维的必要条件。矛盾律要求对两个互相矛盾或互相反对的判断不能都肯定，必须否定其中的一个。否则，会犯“自相矛盾”的错误。有一楚国人，先吹嘘他的盾：“吾盾之坚，物莫能陷”。过了一会，他又吹嘘他的矛：“吾矛之利，物无不陷”。这时旁人问：“以子之矛，陷于之盾，何如？”吹者无言以对了。因为，当他说：“我的盾任何东西都不能刺穿”时，实际上是肯定了“所有的东西都是不能够刺穿我的盾”这个全称否定命题；而当他说：“我的矛可以刺穿任何东西”时，实际上又断定了“有的东西是能刺穿我的盾的”这一特称肯定命题。这样，由于他同时肯定了两个具有矛盾关系的命题（E判断与I判断），因而就犯了“自相矛盾”的错误。 

逻辑一致性是指同一思维过程中不能出现逻辑矛盾即A∧非A，一致性即无矛盾性。不矛盾律要求思想前后一致，不能矛盾。“自相矛盾”表现为概念自毁或命题逻辑矛盾。概念自毁：指用两个相互矛盾或相互反对的概念组合成虚概念（方的圆），用以指称同一思维对象。如：“他是多少个死难者中幸免的一个” ，此句说他既死又活，犯了概念自毁的错误。

不矛盾律要求：在两个互相矛盾的命题中，必须否定一个，不能两个都真。否则，就犯了“自相矛盾”的错误。一位小伙子在给他女友的信中写到：“爱你如此之深，愿为你赴汤蹈火。明天若不下雨，我一定来。”赴汤蹈火与害怕下雨，是相互矛盾的，不能相提并论。一年轻人对爱迪生说：“我要发明一种万能溶液，它可以溶解一切物品。”爱迪生听罢，惊奇地问：“那你想用什么器皿来放置这种万能溶液，它不是可以溶解一切物品吗？”年轻人遂哑口无言。因为：他的想法包含了逻辑矛盾。因为：他一方面承认“万能溶液可以溶解一切物品”，另一方面又承认“作为存放这种溶液的器皿是万能溶液所不能溶解的”，这两个判断互相矛盾。

逻辑思维的原则是“一致性”，而辩证思维的原则是“不一致性”（或“矛盾性”），为什么会有这种区别呢？因为：一个人的语言是表达“他自己的观点”，那么就必须坚持“一致性”的思维原则——说话必须前后一致，不能“前言不搭后语”，不能自相矛盾。但如果一个人的语言是“表达他人的观点”，那么就需要采用“不一致（矛盾）”的思维原则，因为你既然“代表别人表态”，那当然是“不一定”和“两面性”的。华人的思维因此陷入了矛盾的怪圈，产生了各种互为矛盾的谚语：1)大丈夫顶天立地，识时务者为俊杰；只有断头将军，良禽择木而栖；2）先天下之忧而忧，后天下之乐而乐； 人不为己，天诛地灭；3）不为五斗米折腰，大丈夫能屈能伸；不吃嗟来之食，有奶就是娘；4）士可杀不可辱，好死不如赖活着；这就不难理解：中国历来为什么叛徒多、汉奸多、卖国贼多。这就是命题逻辑矛盾：指对两个相互矛盾或相互反对的判断同时肯定，同时确认为真。例如：“所有S是P”与“有些S不是P”；“所有S不是P”与“有些S是P”；“a是P”与“a不是P”，“p并且q”与“或者非p或者非q”；“p或者q”与“非p并且非q”；“如果p则q”与“p并且非q”；“只有p才q”与“非p并且q”；“必然p”与“可能非p”；“必然非p”与“可能p”……都是相互矛盾的命题，其真假值相反。

还有一种特殊的矛盾，叫悖论。悖论就是这样的句子，如果你假定它真，就可推出它假；如果假定它假，就可推出它真。悖论是思维中深层次的矛盾，并且是比较难解的矛盾。老子说：“道可道非常道”即语言不能表达真理。这句话乍一听似乎很高深，但大家细想一下：如果语言不能表达真理，那么“语言不能表达真理”这句话也是语言，自然也不是真理了。这叫自己抽自己的耳光，陷入了自我否定的悖论。 

请注意：字面上的表面矛盾并不能代表语意上的实质矛盾。“他这个人真不是人”这句话，虽然在字面上看有矛盾，但在语意上并没有矛盾。第一个“人”指的是生物学意义上的人，也就是他属于“人”这种动物；第二个“人”是指道德意义上的人，说的是他做出了不道德的行为。换句话说，尽管这句话用了两个同样的“人”字，但前后两字所指的意思完全不同，因此并不构成自相矛盾。

又如，大学毕业时很多人会说自己的心情既高兴，又难过。这个说法当然也不算是自相矛盾，因为其中“高兴”和“难过”的并不是同一个东西，他们的所指并不在同一个意义上。“高兴”大概是指终于拿到学位的兴奋，“难过”则是指对大学同学的不舍。 

3.排中律。对于两个互相矛盾的判断，必须明确地肯定其中之一是真的，不能对两者同时都加以否定。其公式是：A或者非A。“A”与“非A”表示两个矛盾命题。“A或非A”的含义是，在两个互相矛盾的命题中，不能同假，必有一真，也就是说，不能模棱两可、无可无不可；或者说，任一命题要么为真要么为假，非真即假，非假即真。这就是所谓的“二值原则”，逻辑就是建立在“排中律”原则之上的，也叫“二值逻辑”。辩证法反对排中律，搞亦假亦真，就是否定人类文明，提倡动物的弱肉强食的暴力逻辑即强盗逻辑。

排中律作为一个保持思维明确性的逻辑规律，是人们认识事物、发现真理的必要条件。当问题归结为两个相互矛盾的判断时，排中律承认二者中必有一真，从而使人们可以正确思维。在亚里士多德创立的逻辑中，排中律对于西方哲学的走向具有举足轻重的地位。同一律、不矛盾律若离开了排中律，则是不完整的。因为在矛盾双方之间，只有排中律才能彻底地切断矛盾双方之间的联系，才使得矛盾之每一方都成为绝对自在，也才会有绝对之同一、绝对之不矛盾，才会使同一律、不矛盾律完全站稳脚跟，使逻辑学成为人类思维的坚实基础。

对于两个互相矛盾的命题，如果有人既不承认两者中有一真，又认为两者都是假的，那么此人就陷入了“模棱两可”之中(实际上是“模棱两不可”，各打五十大板)，违反了排中律的要求。所谓模棱两可，就是在两个互相矛盾的命题之间，回避作出明确的选择，不作明确肯定的回答，既不肯定，也不否定。例如：“这篇文章的观点不能说是全面的，也不能说是片面的。”“说世上有鬼，这不对，是迷信；但要说没鬼，也未免武断，因为有些现象还真不好解释。”两句都犯了模棱两可的错误！ 

二、证明的逻辑及其规则

证明是由论题或论据两个部分通过论证方式而组成的。论题是真实性需要加以证明的判断。论据是用来证明论题真实性的那些判断。证明与推理是有密切联系的。证明总是借助于推理来进行的。论据相当于推理的前提，论题相当于结论，论证方式相当于推理形式。任何证明的过程都是运用推理的过程，没有推理就无法构成证明。论证和推理还是有一个实质性的区别：推理并不要求前提真，假命题之间完全可以进行合乎逻辑的推理。而论证的目的在于说服对方接受或者拒绝某个主张，因此所使用的论据必须真实，或者至少为论辩双方所共同接受，以假命题作论据不能证明任何东西。

 

1.证明的逻辑原则 

充足理由律是证明的逻辑原则。充足理由律是指对论证的观点要给出真实的理由，并且从这理由能必然地推出所要论证的观点。其公式是：因为B真，并且B推出A，所以A真。公式中的“A”代表论题即推断；“B”称为理由即论据。在论证过程中，A所以能被确定为真，一定存在另一个（组）判断B，并且从B真必然推出A真。若B真并且从B真可推出A真，那么我们称B为A的充足理由。

充足理由律反映了事物间因果关系：一个事物之所以存在，必然有引起它的条件和原因。没有条件和原因，它是不可能存在的。所以，充足理由律有两条规则：一是理由必须真实；二是理由与推断之间要有必然的因果联系。换言之，推论应符合逻辑规则，推理形式应正确。也就是说，充足理由律的要求是：必须根据真实的判断和正确的推理形式来推出结论。因此，充足理由律体现了证明过程中真实性和正确性的统一，这是正确思维的论证性特点。

有分歧的人们怎样相处？就是讲道理来说服对方，甚至说服自己。对方不讲道理怎么办？宽容。等待时间让他或他周围的人慢慢理解。不听我的，就把他砍死，大家都乱砍乱杀，社会不乱套了吗？所以，理性人要做到两点，一是说理，二是宽容。这是文明社会的前提。

圣经里有个故事：美丽的苏姗娜是有钱的Joakim的妻子。Joakim好客，一天到晚门庭若市。在他的客人中，有两位长老因觊觎苏姗娜的美貌，经常到Joakim家作客。一天，他们碰巧看到苏姗娜一人在家沐浴，两位长老企图与她同床，被苏姗娜的断然拒绝。恼羞成怒之下，长老们威吓：倘若她不从的话，就告她通奸。尽管受到威吓，苏姗娜依然不从。于是，长老诬告苏姗娜通奸。不幸的是，众人相信了长老的话，判苏姗娜有罪。在苏姗娜即将被处死的一刹那，上帝聆听到了她那发自内心的虔诚祈求。上帝以圣灵呼唤一位名叫但以理的少年挺身而出，大声疾呼苏姗娜是无罪的。但以理要求重新审问两位长老。为避免串供，他机智地把两位长老分开讯问。但以理问：苏姗娜在什么树下同他人做爱？一长老说在椰枣树下；另一长老说，在无花果树下。他们所说的树名各不相同，相互矛盾。最后，长老们不得不承认撒谎并犯了诬陷罪。苏姗娜无罪获释而两位长老按照摩西的律法被处死。这一案例昭示了两种司法精神：一是正义精神，坚信上帝的天启“切不可将无辜者处死”，所以他能够以无畏的精神主持公道，惩恶扬善。二是理性的精神，但以理不是简单地凭一种信念为无辜者辩护而是以超众的智慧，采用将两名证人分别询问具体情节的方法，就是通过逻辑不矛盾律的要求以确保案件事实真实性，最终使诬陷者漏洞百出。

可见：伸张正义不仅需要勇敢的精神，更需要掌握逻辑规律。逻辑规律是正确思维的法则，也是理性的交流的必要条件。逻辑学在整个科学体系里是基础学科，如果逻辑坍塌了，这个社会就不可能有科学和文明。

对个人而言，学习逻辑，能够帮助你有条理的思考、说话、写作甚至办事，井井有条。

对社会来说，使人们交流更加有效，使社会管理更加有序。

2.证明的种类 

按照不同的标准，可以对证明进行不同的分类。按论证方式(即推理形式)的不同，证明可分为演绎证明和归纳证明。演绎证明是借助于演绎推理来进行的证明，即用一般原理来证明特殊事实的一种证明。在这种证明中，论据是一般性原理，论题是特殊事实的论断。归纳证明是借助于归纳推理进行的证明。在这种证明中，论据是关于特殊事实的判断，而论题则是一般性的原理。归纳推理一般说来是一种或然性推理，因此，在严格的论证中，用不完全归纳推理建构的证明一般只能起辅助作用。至于完全归纳推理或科学归纳推理所建构的证明，由于这两种推理中，前者实质上是一种必然性推理，后者也是一种包含着演绎因素的，因而结论具有较高可靠性的推理。

 

按论证方法的不同(即是否对论题直接进行论证)可分为直接证明与间接证明。直接证明就是从论据的真实直接推出论题的一种证明方法。间接证明又称反证法，它是通过证明反论题的虚假，从而判明论题真实的一种证明方法。运用间接证明方法进行证明，一般有三个步骤：1)设立反论题（即与我们所要证明的论题相矛盾的论题）；2)证明反论题是虚假的；3)根据排中律，推出我们所要证明的论题的真实。可见，间接证明实质上是选言推理的否定肯定式的运用，即从否定反论题真实，而推出我们所要证明的论题真实。间接证明通常采用两种方法：归谬法和穷举法。归谬法是一种先假定反论题为真，并从中引出谬误的推断，然后，根据充分条件假言推理的否定式，从否定谬误的推断到否定反论题的真实的一种方法。既然否定了反论题的真实，那么，根据排中律，自然也就证明了我们所要证明的论题是真实的。

古希腊人问：素数（质数）的个数是无限的吗？欧几里德证明如下：

假定，反论题：素数的个数是有限的，个数为n，最大的素数是Pn。

把所有n个素数都乘起来，其乘积S=P1.P2……Pn。现在考察S+1，如果S+1是素数，那么，就会有了n+1个素数，因此，反论题不成立，于是素数的个数是无限的。如果S+1不是素数，那么必定可以被一个素数P整除，而P一定不是原先这n个素数中的任何一个，因为用原先任何一个素数做除数都会有余数1。于是，至少有n+1个素数。也就是说，反论题不成立。因此，不论S+1是不是素质，反论题不成立。

这就是逻辑推理中的著名的“二难推理”：如果p则q（反论题非）；如果非p则q；p或者非p；都q。根据排中律，素数的个数是无限的。证明完毕。这真是一个永放光芒的证明。要知道这是2300年前，华人连逻辑都没有的时候，人家就证明了这个命题。这就是逻辑的力量。

还有一种经常运用的反证法是穷举法。穷举法就是列举出除所要证明的论题外还可能成立的其他各种不同论题，然后根据事实或推理将这些不同论题一一予以否定，从而证明所要证明的论题为真。可见，穷举法实质上是选言推理的否定肯定式和完全归纳推理的联合运用。

在巴基斯坦影片《人世间》中，女主人公拉基雅的丈夫恶贯满盈，最后被枪杀。拉基雅开了枪。老律师曼索尔把这个善良的妇女从绝境中解脱出来。他是这样证明的：如果拉基雅是凶手，那么她手枪中的五颗子弹最少必有一发打中了她的丈夫；而现在经过现场检查，她手枪中的五发子弹都打在对面的墙上，打在墙上，当然没有打中她丈夫。再有，如果拉基雅是杀死她丈夫的凶手，那么，子弹一定是从正面打进她丈夫的身体的，因为拉基雅是面对面地对她丈夫开了枪。但是，经过法医检查，尸体上的子弹是从背后打进去的。在这个例子中，老律师曼索尔用了两个充分条件假言推理的否定后件式，通过这两次演绎论证，证明了“拉基雅不是凶手”这个论题。 

3.证明的规则 

关于论题的规则：1）论题必须明确。违反这条规则，在逻辑证明中叫做“论旨不明”。2）在同一证明过程中，论题应保持确定。违反这条规则，在写作上叫做“跑题”，在逻辑证明中叫做“偷换论题”。如，某人本是要证明“必须重视体育”这一论题的，但他却大谈“如何展开体育锻炼”，这就犯了“偷换论题”的逻辑错误。 

关于论据的规则。1）论据必须真实。在证明中论据不真实，就会犯“虚假论据”的错误。如：“所有的人会死是假的，因为吕洞宾张果老就长生不老，黄帝还是不死的神仙”。“吕洞宾、张果老、黄帝”长生不老的故事都是传说，此说法犯了虚假论据的错误。违反充足理由律的错误之一就是“理由虚假”即“虚假论据”的错误。比如，如：“所有的猴子都是人变的，金丝猴是猴子，所以，金丝猴是人变的”。“所有的猴子都是人变的”这一论据是假的，是12生肖的说法，不足为凭，犯了虚假论据的错误。

论据不真实，还表现为“预期理由”的错误。所谓预期理由的错误，是指在证明时所用的论据本身还是一些真实性尚未得到证明的判断。比如，曾有人为证明“火星上有人”而提出的论据是：“用望远镜观察火星，可以发现上面有不少有规则的条状阴影，而这就是火星人开凿的运河”。因此得出结论说“火星上是有人的。”这个证明就犯了预期理由的错误。因为，他所提出的论据“火星上的有规则的条状阴影是火星人开凿的运河”，这个判断本身是否真实还未确定。

2）论据的真实性不能依赖论题来说明。就是说，在同一证明过程中，论题与论据不能互为论据，否则就会犯“循环证明”的逻辑错误。如，有人试图以从海岸上看远处的行船总是先见桅杆后见船身这一现象来证明地球是圆的。但是，若问为什么从海岸上看远处的行船总是先见桅杆后见船身呢？这又有待于“地球是圆的”这一判断的被证明。由于这个论据的真实性还是依赖于这个论题的真实性的被证明，因此，这样的证明等于是绕了一个圈子，结果仍然什么也没有证明。 

关于论证方式的规则，即论据和论题之间应有必然的逻辑联系。违反推理规则就犯了“推不出”的错误。比如，有人说：“如果一个人是运动员，那么他就要经常锻炼身体，我不是运动员，所以，我不要经常锻炼身体。”结论错了。因为，这个推理违反了充分条件假言推理的否定前件不能否定后件的规则。尽管这个推论的理由都是真的(即“运动员要经常锻炼身体”和“我不是运动员”都是事实)，但由于它违反推理的规则，它的推理形式是错的，即推断不是从理由中逻辑地推出来的，因而这个推论不符合充足理由律的逻辑要求，结论也是错误的。用这种错误的推理形式来进行证明，就是一种“推不出”的错误。