1．证明一个定理 推出两个推论

    （1）取自然数n₁，n₂，设n₁，n₂互素，m为n₁，n₂的最小公倍数，m=n₁n₂。v₁，v₂，…，vn，vn+1，vn+2，...，vn+n，...，vn+n+…+n为所有m个连续的自然数。

     （2）将m个连续的自然数v₁，v₂，…，vn，vn+1，vn+2，...，vn+n，...，vn+n+…+n列成一个矩阵，矩阵中的自然数共有b行j列，且b=m，j＝n₂，每行中的自然数为一个，每列中的自然数个数相等。

b＝m= n+n+…+n，j=n₂。

       第一行         v₁

       第二行                   v₂

       第三行                             ⋱

        ……                                         vn

        ……           vn+1

        ……                    vn+2

        ……                                ⋱

        ……                                       vn+n

        ……           ⋱

        ……                    ⋱    

        ……                               ⋱ 

      第b行                                    vn+n+…+n

     例：b＝m＝6，j=n₂=3。

        第一行  2

        第二行           3

        第三行                   4

        第四行  5

        第五行           6

        第六行                   7

       如果矩阵中m个连续的自然数，每n₁个筛除掉n₁- j₁个（按自然数顺数的顺序有规律的筛除，j₁=1），显然m个连续的自然数中没有被筛除数的个数g＝m〔1-（n₁- j₁）/n₁〕＝m〔1-（n₁-1）/n₁〕，∵1-（n₁-1）/n₁=1/n₁，且m=n₁n₂，∴g＝n₂，又∵j=n₂，∴g＝j，即矩阵中没有被筛除自然数的个数与矩阵列数的个数相等。如果其中一个没有被筛除掉的数在矩阵的第f行第L列，因为b=m，且每行中自然数的个数为一个，显然L列中第2，第3，…，第r个没有被筛除的数一定在f±nb行（n∈N，n≠0），∵f＋nb＞d，f－nb＜0，且矩阵中的自然数只有b行，所以第L列中没有被筛除自然数的个数一定是1个，如果L为矩阵自然数的所有列数，同理证明所有列数中都不可能存在第2，第3，…，第r个没有被筛除的数，∵g＝j，所以每列中没有被筛除自然数的个数一定为1个。然后再每j列筛除j₂列（j₂＜j，j₂∈N，j₂≠0），因为j=n₂，j₂＜j，∴j₂＜n₂，又因为j=n₂，并通过矩阵自然数的排列关系可以看出，矩阵中的自然数每j列筛除j₂列，实际上就是矩阵中的自然数每n₂个筛除j₂个，所以矩阵中m个连续的自然数每n₁个筛除n₁- j₁个(j₁=1），每n₂个筛除j₂个，没有被筛除掉数的个数g＝m〔1-（n₁- j₁）/n₁〕（1－j₂/n₂) ＝m〔1-（n₁-1）/n₁〕（1－j₂/n₂)，∵m=n₁n₂，∴g= m〔1-（n₁- j₁）/n₁〕（1－j₂/n₂)＝ n₁n₂〔1－（n₁ －1）/n₁〕（1－j₂/n₂) ＝（n₂－j₂)，∵j₂＜n₂，∴g≥1。 如果j₁满足1≤j₁＜n₁（j₁∈N)，且n₁- j₁= j₁，矩阵中m个连续的自然数，每n₁个筛除j₁个，每n₂个筛除j₂个，不难看出，m个连续的自然数中没有被筛除数的个数g＝m (1-j₁/n₁)×（1- j₂/n₂），且g≥1，并由此得出：

定理：如果n₁，n₂互素，m为n₁，n₂的最小公倍数，m=n₁n₂，m个连续的自然数，每n₁个筛除j₁个（j₁＜n₁，j₁∈N，j₁≠0)，每n₂个筛除j₂个(j₂＜n₂，j₂∈N，j₂≠0），m个连续的自然数没有被筛除掉数的个数g＝m(1-j₁/n₁)×（1- j₂/n₂），且g≥1。

推论：如果n₁，n₂，n₃，…，nn两两互数，m为n₁，n₂,，n₃，…，nn的最小公倍数，m=n₁n₂n₃…nn ，m个连续的自然数每n₁个筛除j₁个（j₁＜n₁，j₁∈N，j₁≠0），每n₂个筛除j₂个（j₂＜n₂，j₂∈N，j₂≠0），每n₃个筛除j₃个（j₃＜n，j₃∈N，j3≠0），...，每nn个筛除jn个（jn＜nn，jn∈N，jn≠0），m个连续的自然数没有被筛除掉数的个数g=m（1-n₁/ j₁）（1－n₂/ j₂）（1－n₃/ j₃ ）...（1－nn/jn ），且g≥1。

        2 .等于 大于2m的偶数一定是两素数之和

        数对自然数相加，加数之和等2m（2m为任意偶数，m∈N,m≥2），2m的所有数对加数列成一个矩阵。

          1        2        3      …    m-3   m-2    m-1    m

       2m-1  2m-2  2m-3  …   m+3  m+2   m+1   m

       这个矩阵一共两行d列，任意一列数中都有两个自然数， 2m为这个矩阵任意一列数中的两自然数之和，如果用x表示这个矩阵自然数中的任意奇数，y表示这个矩阵自然数的任意列数，显然矩阵自然数中的任意奇数x与矩阵自然数的任意列数y的变量关系是：y=（x+1）/2。

如果2，3，5，…，p 为连续的素数，m为2，3，5，…，p的最小公倍数，m=2×3×5×…×p，d=m， u²＞x(u为数素，u＞p；p，u为两个连续的素数)，矩阵中的自然数每2列筛除1列（含2和2的倍数的列数），每3列筛除1列或2列（含3和3的倍数的列数），每5列筛除1列或2列（含5和5的倍数的列数），…，每p列筛除1列或2列（含p和p的倍数的列数），如果用i表示每2列被筛除的1列列数的个数 ，s分别表示每3列，每5列，…，每p列被筛除的1列或2列列数的个数，显然i=1，s＝1，2。因为矩阵中的列数为自然数列，根据推论得：矩阵中没有被筛除列数的个数g=d（1-i/2）（1-s/3）（1-s/5)…（1-s/p），又∵i=1，s＝1，2，∴g≥1。如果没有被筛除某一列数两奇数中的任意一数为a，x=a，a是合数，那么a的最小素因数一定大于p，如果a的最小素因数大于p，那么a≥u²，如果a≥u²，a满足y=（x+1）/2= (a+1) /2=b₁，且d∈{y｜y=(x+1) /2}， b₁一定大于d，因为矩阵中的自然数列数不大于d（这与矩阵只有d列的预设矛盾），所以矩阵某一列数中没有被筛除的两自然数奇数q₁和q₂，要么是两素数，要么是一素数和1，因为q₁和q₂为这个矩阵任意列数中的两自然数，又因为2m为这个为矩阵任意列数中的两自然数之和，∴2m=q₁＋q₂，所以等于2m的偶数一定是两素数之和或者是一素数和1之和。

       如果没有被筛除某一列数两奇数中的任意一数为a，x=a，a是合数，那么a的最小素因数一定大于p，如果a的最小素因数大于p，那么a≥u²，如果a≥u²，a满足y= （x+1）/2 =(a+1) /2=b₁，且d∈{y｜y=(x+1) /2}，则b₁＞d，如果b₁＞d，显然b₁＝nd+b₂（n∈N，n≠0；b₂≤d，b₂∈{y｜y=(x+1) /2} ），∵b₁＝nd+b₂，∴b₂＝b₁－nd，显然矩阵任意列数中一定存在第b₂列，如果第b₂列一定是没有被筛除的列数，又因为b₂≤d，重新排列一下，显然第 b₂列中没有被筛除的两个自然数奇数q₁和q₂，只能是两素数，或者是一素数和1。∵d=m，且2m为任意偶数，∴2m= 2d，又∵（x+1）/2=(a+1) /2= b₁，且a为任意一奇数，所以b₁为任意一自然数，所以2b₁一定为任意一偶数，∵b₁＞d，∴2b₁＞2d，又∵ 2d=2m，∴2b₁＞2m，所以2b₁为大于2m的任意偶数。如果矩阵中的自然数只有b₁列，且b₁为这个矩阵自然数的所有列数之和，显然2b₁一定是这个矩阵任意一列数中的两自然数之和，因为q₁和q₂是这个矩阵任意一列数中的两自然数，∴2b₁ =q₁＋q₂。,因为当a满足y= （x+1）/2 =(a+1) /2=b₁时，矩阵中的自然数列数不可能只有b₁列，如果此时矩阵中的自然数列数大于b₁，为b₁+n列（n∈N，n≥0），且b₁+n为这个矩阵自然数所有任意列数之和，显然2(b₁+n)一定是这个矩阵任意列数中的两自然数之和，且2(b₁+n)为偶数， 因为q₁和q₂是这个矩阵任意列数中的两自然数，∴2(b₁+n)= q₁＋q₂，所以2(b₁+n)一定是两素数之和，∵2(b₁+n)=2b₁+2n，又∵n≥0，∴2b₁+2n≥2b₁，∴2(b₁+n) ≥2b₁，∵2b₁＞2m，∴2(b₁+n)＞2m，所以大于2m的偶数一定是两素数之和或者是一素数和1之和。

       如果2，3，5，…，p 为连续的素数，m为2，3，5，…，p的公倍数，m=2×2×3×5×…×p，d=m ，u²＞x(u＞p；p，u为两个连续的素数)，不难看出：矩阵中至少有d列中的2列列数没有被筛除，如果其中1列是一素数和1，另一列中没有被筛除的两奇数q₁和q₂一定是两素数，如果d=m，b₁+n＞d，不难证明： 2m =q₁＋q₂，2(b₁+n)=q₁＋q₂，2(b₁+n) ＞2m，（n∈N，n≥0），所以等于大于2m的偶数一定是两素数之和（版权登记：2015-A-00239589）。