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从三维空间到多维空间是如何构造的 —荒唐的卡拉比丘流形
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参见：中国科学院智慧火花物理学栏目——空间的维度
http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=62446
参见中国科学院智慧火花----【在多维空间如何定位】
http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=70833
前言
当今世界科学，最激动人心的科学理论就是弦/M理论，弦/M理论最核心的内容就是多维空间。目前为止，世界上没有一个理论说清楚四维和四维以上的空间几何架构的原理,数学家和物理学家都没有搞清楚。这里说的没有搞清楚是指没有办法用图像解释四维和四维以上空间结构。
有学者认为，物理学中同时存在两个正确而互相矛盾的理论模型，这不是自然界的错，而是物理学家迷失了方向。引力能否量子化，暗物质与能量能否解释， 黑洞内部能否探查和多宇宙的存在性，实验无法达到目标。这些迷失的东西唯有靠数学尤其是几何才能找到。物理模型的冲突在于我们几何理论的 缺陷，在连续的统一场中如何实现规范场的离散的几何量子化和拓扑化是关键。如果新几何不能完全弄出来，物理学家不可能从理论上解决 他们的主要问题。
众所周知，如果要做加法或者减法，首先必须知道什么是数和数量，如果没有对数量的定义，就没有加法或者减法的运算；同样道理，没有对空间维度的正确定义，就谈不上一个理论建立在维度之上。
四维和四维以上空间不是象三维空间和二维平面以及一维那样属于原始概念，而是后继出现的概念。后继概念就必须依据三维和三维以下的空间概念来定义，而空间和时间的坐标必定要写进物理学方程里，所以必须做出严格和科学的定义，不能糊弄过去。而M理论就建立在多维空间的构造上，数学家和物理学家却不能给出多维构造的几何原理，弦理论目前就是建立在一个空壳上。
一， 为什么会有不同维度的理解？
在人所熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。坐标是三条直线经过同一个点以后，朝三个方向的两两相交，也就是说，它们两两成直角。从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴 x、y、z上。
如果要有四维空间坐标，必须另有一条垂直于其他三个主要方向的线条，通常称作w轴，但是，由于360度穷尽了二维，w轴如果需要存在，必然要重叠在三维之上。
二，维度是怎么得来的？
1， 在算术加法中，个位满了就进一位到十位位置上。而空间维度增加却不是这样。
2， 当数学家用圆把周围封闭起来的平面采用360度计量单位表示，再用一条直线穿过圆点就平分了圆，一个圆的一半就是180度，用90度垂直这条直线就可以刻画整个平面，平面坐标可以说清楚平面上的一切。笛卡尔在【几何学】中通过选定一条射线作为基线建立了倾斜坐标系，用两个坐标x，y表示平面上的位置。高斯是第一个正确解释了二维图像坐标的数学家。
3，把坐标系几何推广到三维空间是拉.希尔，他在1679年的论文中，用三个坐标表示空间的点，并且给出了三个表示空间的点。
他从平面圆点发出一条垂直于平面的射线，形成了一个立体的三维坐标，经过圆点的无穷多个平面可以构成一个东西，我们叫做球。三维空间可以穷尽我们可以观察到的整个空间。如果有人说我在球外面加一个东西，那是没有意义的，因为球外面的东西依然可以纳入球内，我们的三维空间的球是开放的，没有边界的。
4，当我们看到一条直线，我们可以理解这条直线向周围扩展是三维的，庞加莱猜想就是基于三维空间，1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想: 任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
三维空间坐标是由一个点发出的三条两两垂直的射线，他们有一个重要特征就是：第一，两两相连和互相垂直；第二，不能重叠。
5，皮耶罗将三维物体透视画法在二维平面上，但是，到了四维、五维、....高维是无法用透视法画出来的，高维的图像必须依赖霍奇猜想的方法：粘贴。
一个点状物体，在空间维度上没有延伸，因此空间维度为零，能够在三维空间自由移动；一根玄它有一个空间维度，能够在比自身有更多维度的空间移动。
6，人们无法理解四维、五维、....、无穷多维的世界。因为360度平面正好是两个维度，不可能再插入一个维度，一个球体的中心只能发出三条两两相连互相垂直的射线，如果非要再增加一条射线，就会挤压原来的空间，坐标就不是90度的架构。
在物理学理论中，包含一个可以自洽的程式，这个表示数量关系的程式同经验事实必须有一个可以接受的联系。 就连数学家和物理学家也没有办法说清楚。实际上数学家和物理学家也不清楚多维空间的几何本质是什么，他们也还在朦胧中纠结。
三，下面就让我来告诉大家什么是三维以上的空间
上面我们已经说了 三维空间基于两条重要原则：
第一，三维空间坐标是三条射线两两相连互相垂直。
第二，“同一维度不能重叠”。
为什么必须两两相连？
在一个坐标上，如果不能与所有的空间维度两两相连，只与其中的某些维相连，那么只是与之相连的那一些维度的延伸。而不是新增加的维度。
现在关键的问题来了，如果我们构造四维空间，就必须修改前面的两条规则：
第一，允许一个东西不是从圆心出发，只是与三维坐标的每一射线两两相连，互相垂直或者不互相垂直。
第二，允许这个东西与某一个维度重叠，于是，我们称之为第四维。为什么要修改呢？
因为我们没有两两相连的连线，就不能添加新的维度，只能算是“新的东西”，如果新的坐标通过圆心，就破坏了原来的三维空间90度的基本面。所以，我们既要把新的坐标线通过与已经有的坐标两两相连建构新的坐标元素，允许重叠增加维度，有重叠的空间必然是弯曲的。
四，下面我们将用图来说明。什么是四维空间呢？
一个四方形的平面是二维，是把平面卷起来对接成为一个管子，这个时候就不是平面了，是三维的，因为它有长宽高。最根本的特点就是：在一个三维空间，必然存在一个点，可以向两两垂直的方向发出射线。
把这个管子端口对接成为一个汽车轮胎一样的环面，依然是三维的。
一个油饼有两个洞，依然是三维，一个老式的方向盘有三个洞，还是三维的，... 很多个环面连在一起，依然是三维，因为没有重叠。就是说它还只有一个点可以发出两两垂直的三条射线。
一个有两个洞的油饼一样的双环，是有三条管两两相连和两个洞的东西，安上一个三叉（通）管，三叉管骑跨两个洞，三个端口分别连接双环三通管 ，就是四维了，因为这个东西在三维空间看无论从哪个方向都是有了重叠。 （参见下图）
图1是一个双环，它是三维的，图2是一个三叉管，也是三维的，图3是将三叉管安在（粘贴）在双环上，就是四维空间了。就是说，无论从三维的哪一个方向看，都有重叠。
图4是在四维空间基础上加了一个四叉管（绿色的是四叉管），它是五维空间。我们可以不断增加n个叉管来增加空间的维度。
五，多维空间是如何构造的
五维空间就是在四维空间基础上，加一个四叉管（下面图绿色四叉管）骑跨在双环上，三个端口与双环的三条管相连，还有一个端口与三叉管相连。
多维空间的构造思想是：用增加两两相连的管道增加维度，重叠在三维空间外层，形成了多维空间。使得三维外面的东西无法纳入三维球内，不得不用四维和更多维表示。
构造方法是著名的霍奇猜想的方法。复杂的高维空间由简单的三维空间粘合在一起。六维空间就是在五维空间基础上加一个五叉管，每一个端口与其他管相连。
3，六维空间就是再加一个五叉管（黑色的五叉管），有三层重叠。
4，n维空间就是有n-3个重叠。以此类推，可以构造无穷多个维度的空间。下面是10维空间的图形构造。
上面这种方法叫做几何直观，是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接识别或者猜想的心理状态。例如虚数用于复数几何，四元数用于三维向量空间。
下面是物理学家想象的10维空间。几何的洞察力比代数天赋更宝贵。
一个中国物理学老师在给学生讲课，介绍26维空间的推导。
我们生活在高维宇宙的一小片中，大到银河宇宙，小至原子夸克，都是 弦线构成的。
目前的M理论就不是由实验建立的。
有学者认为尽管标准模型能解释很多东西，但是物理学家完全靠实验来建立统一广义相对论和量子力学的模型基本上是不可能的，因为实验室的高能限制是非常明 显的。实验不可能获取大爆炸的高能条件，即使满足弦论最低要求能量条件都几乎不可能。
下面内容参见中国科学院智慧火花——【在多维空间如何定位】http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=70833
数论的最高境界就是将多个数论问题融合并且与其他学科结合
科学最让人不可思议的是它的融合，无数自然现象可以归结为物理学、化学、生物学、。。。
今天的文章注定是一个载入史册，它是人类思维的辉煌壮举，它把数学中最经典的哥德巴赫猜想、费马大定理、黎曼猜想、欧拉公式、P=NP问题和广义相对论量子理论的m理论融合在一个模型里。
一，从四色定理开始到曲面染色
法兰西斯·古德里于1831年生于伦敦，在1852年提出的猜想，只需要四种颜色为地图着色。这是因为他发现在平面上或者球面上，只能有4个区域两两相连，英国数学家德摩根证明了平面上不存在5个区域两两相连。
1974年德国的林格和美国的杨斯证明了在曲面上染色定理，例如，在一个汽车轮胎形状的环面需要7种颜色，因为可以构造7个两两相连的区域，6种颜色肯定不够的；在有两个洞的双环面需要8种颜色，因为可以构造8个两两相连的区域，7种颜色肯定不够的；。。。
数学家证明了可以构造无穷多个两两相连的区域。
如果你不能理解，让我慢慢道来：
现在有两根管子，一个记为1，一个记为2，它们代表两个区域。我们假定所有的管子都是可以随意拉伸和弯曲的。把两根管子端端相连，就是一个汽车轮胎一样的环，它有两个区域，我们再用一根直管子记为3，安在这个环的中间，一头连着区域1，一头连着区域2，现在它是有两个洞的双环了，有三个区域两两相连。
现在我们用一个“丁”字型的三叉管，记为区域4，三个端口分别与区域1，区域2，区域3相连。于是现在有4个区域两两相连；
我们再用一根四叉管记为区域5,4个端口分别与区域1,2,3,4相连，现在有5个区域两两相连。
这个步骤可以无限制进行下去，用五叉管，六叉管，。.。构造无穷多个区域，它们都是两两相连的。
在数论中，最重要的元素就是素数，欧几里得证明了有无穷多个素数，并且它们有一个特点就是两两互素。无穷多个两两互素的素数与无穷多个两两相连区域一一对应。
就是说用这个方法把数论与图论联系起来，这个方法的意图叫做朗兰兹纲领。
区域1，代表第一个素数2，第二个区域代表第二个素数3，。.，第n个区域代表第n个素数。
我们把这个岐管倒过来，就像一个网子，篮球网子。篮球网子是把篮球往里面投。
公元前300年古希腊有一个数学家叫做埃拉特斯特尼，他把这个网子当成筛子，把自然数往里面扔，他说凡是合数通过筛子以后就会从网子里面筛掉，留下的是素数，这个就是著名的埃拉特斯特尼筛法。
我们上面这个岐管筛子是把偶数往里面扔，哥德巴赫说，大于4的偶数一个也不会漏出筛子，除了6=3+3以外，其他偶数都是可以在不同的素数区域被拦截。例如8会在区域2也就是素数3和素数5（第三个区域）被拦截；偶数10会在素数3和素数7的两个区域之间被拦截；。.。总之，无穷多个偶数都逃不脱这个网子，没有一个偶数可以漏到外面去。
看到没有？数论与图论已经融合一起了。
这个还不算神奇，这个岐管的内部空间我们记为X，外部空间记为Y，它有很多洞,可以有无穷多个洞，可以有无穷多个空间维度n，宇宙内外整体记为1，就是说Xⁿ+Yⁿ=1，这个叫做费马曲线，它是由费马大定理Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ同时除以Cⁿ得到的。
费马大定理与哥德巴赫猜想联系起来了。
物理学家认为，宇宙是10维空间或者11维空间，或者26维空间等5个版本。还有物理学家认为有无穷多个维度的空间。他们管这个理论叫做玄理论或者M理论，是把广义相对论与量子理论结合一起的终极理论，霍金说是最后的理论。
数学家考虑的是怎样计算这个岐管上的区域或者计算区域上面的一个点。如果岐管上某一个区域n，n上的一个点是1/n，因为这个岐管有无穷多个维度，或者很多维度，我们要想在歧管上面画一条线，就要定位这个点，就要考虑它的管壁——实部，还有考虑它的内外空间位置——虚部。
，s=α+βi，i 表示虚数，看出名堂来没有？管壁上实部为1/2，因为宇宙等于1（xⁿ+yⁿ=1）这个管壁就是实部α，确定这个点的位置还有考虑管壁内外空间结构，就是虚部，要计算这个零点，就要用黎曼函数
来运算，黎曼猜想！
,S=α+βi。黎曼猜想与费马大定理联系起来了。
六，与欧拉公式联系起来
虚部怎么计算呢？岐管内部看成一个圆管， 虚部是什么？它至少应该有管道内或者管道外中的一个参数。假设管道截面是一个圆，管道
，就是一个圆。大家知道欧拉公式吗？
。......（1）。如果走过头，假如超过了π，走到了3.1416，让我们看一下会发生什么情况
所以（1）式为：
因为圆周率π=3.141592653.....=3.1416—0.000007346.....。
（5）太荒唐了！但是却是一个现实。虚时间就是一种周期性运动：
当大于π时，就是时间走过头了，落入第三象限。欧拉公式是将指数函数解析延拓到整个复平面上。
虚时间就是（5）式中，物理学会出现这种情况：不同时代的人在一个特殊的空间相会，300年前的爷爷（（5）式左端）和孙子的孙子的孙子（（5）式的右端）在虚时间里见面，你中有我，我中有你。
（5）式也可以理解成为量子纠缠，等式两边可以与无穷多种不同数值，在同一个时间里一正一副。
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什么是流形
流形就是这样的几何空间，其上的每个小区域看起来都像普通的欧几里德空间。例如，球面、圆环面在局部上与二维的欧几里得空间类似，地球仪的表面可以从南极和北极（或东半球和西半球）投影到两张平面地图上。然而，从总体来说，它们却并不相同
○
卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）是一种复流形，可以分解成一片一片，看起来就像是复空间的平面。卡拉比-丘流形之所以特别，是因为它分解的片状结构只能通过旋转在复空间的类似物连接起来。在复一维（实空间的二维，因为复数的实数部分和虚数部分占据实数空间的两个维度）空间，唯一特别好的（紧致的）解是是环面。
卡拉比丘流形师出无名
卡拉比丘流形的构造没有几何拓扑学定义，很难用图像来描绘任何超过两个实数维的流形，但用代数方程来构造流形的例子却并不困难。
我们知道，处于二维平面的一维圆形可以用方程
的实数解来描绘，平面上与原点距离为r的所有点(x,y)构成整个圆。嵌入三维空间的二维球面可以用方程
的实数解来描绘，空间中与原点距离为r的所有点(x,y,z)构成整个球面。在更高维度上，我们则可以用方程
的（实数）解来描述n维球体。与此类似，复三维卡拉比-丘流形是通过方程
的复数解来描述的。这个著名的卡拉比-丘流形被称为“5次多项式（quintic）”。
卡拉比-丘流形最初是由意大利数学家卡拉比（Eugenio Calabi）提出的猜想，丘成桐宣称证明了这个猜想，其实是错误百出。
1，卡拉比猜想实际上与蒙日-安培方程等价。
2，他花了将近3年时间，做了大量准备工作，发展了强有力的偏微分方程技巧，使用先验估计方法，在1976年6月求解了这个非线性复蒙日-安培方程（至多有一个解）。
3，从而给出了卡拉比猜想的证明（实际上是：丘成桐证明了其流形上复数的蒙日—安培方程，至多只有一个解。
丘成桐说的【至多有一个解】的含义是：
1，否定至少有两个或者两个以上的解，最多一个解（上限）。
2，不能保证有一个解。很可能一个解也没有（下限）。
就是说，如果没有一个解的情况下，就不能说丘成桐解开了蒙日-安培方程。
为什么？因为，【至多只有一个解】属于或然性推理。或然性推理的前提与结论之间没有蕴含关系，所以，数学定理必须是必然判断。
。
卡拉比丘流形是空中楼阁
在弦论中，人们尤其感兴趣的是复三维卡拉比-丘流形，例如5次多项式流形。物理学家只希望能获得几个可能有效的数学结果，他们找到了卡拉比-丘流形。
而数学家却还不能确定他们对流形的划分是正确的。
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