闲聊宇宙（10）——传统数学的局限性

作者：侯工

老张以为宇宙所有“问题树”构成的一定是一片一望无际的大“森林”，看我没有表态，因此心里没底，总在琢磨：究竟这个“问题森林”是个什么形状？第二天，老张忍不住了，一大早就约我去喝茶。还没有坐定，他就迫不及待地说：

“老王，现在该是书接上一回了吧？”

“这茶很烫，急不得。——上回说到哪里啦？”

“说到‘问题森林’的形状了，我说这么多问题树集合在到一起，肯定是一片无边无际的大森林。”

“此‘森林’不是彼森林。树形根部抽象化的形状应该是‘锥形体’的尖端。尖端，即可以理解为无限小，将这些无限小的尖端汇集在一起当然也是无限小。这些尖端集合在一起就形成球心，树干和树枝就形成球体，树叶冠面就形成球面。”

“那么就请你说说这球面吧。”

“不。我还是先说说平面。”

“你这不是抬杠吗？怎么扯到平面上去了？”

“老张你有所不知，有这平面作对比，你才能更好地理解球面。平面这玩意儿有个特点：平面上的点方位相同，性质也相同，千人一面，张三和李四长得一模一样，你分不出谁是谁。一个手机屏幕大的平面就可以容纳无限多个点。垂直于平面的直线是平行线，无论走多远也不会相交。在平面世界里，时间面是一个平面，所有东西都在一个平面上，生命的细胞要分裂，但是平面不能膨胀，所以细胞不能分裂，所以，在平面世界里不可能有生命。没有生，也没有死，平面世界永恒不变。两个大小相同石子可以捏合成一个大小不变的石子，也可以随时反过来，由一粒石子分开成为同原来一样大小的两个。如果你来到平面世界，当你走过一条独木桥的时候，正好对面也有一个人从这条独木桥走过来，你和那个人碰面的时候就无须闪避而毫无感觉地各自走向对岸，甚至公路上可以有无数的汽车互相对开而不会发生碰撞。”

“那就没有交通事故啦。——好象是天方夜谭。为什么会这样？”

“因为平面上的点不分彼此，互相之间可以无限地重合在一起。”

“这篮球场也是个平面了，怎么打球的时候还会人撞人呢？”

“篮球场并不是平面。”

“手机屏幕这么平，是不是平面？”

“不是。平面这个概念来自人类的错觉，根本就不存在。当初人们将局部的现象，比如将平静的水面当作平面，然后将它抽象为‘平面’概念，后来被欧几里得将它提升为几何图形。并且作出平面的定义。”

“我记得，平面的定义是：‘在空间中，到两点距离相同的点的轨迹。’”

“可是在宇宙里，由于宇宙是个球面，在球面上不存在到两点距离相同的点的轨迹。”

“可是，包括欧几里得在内的传统数学为人类解决了大部分问题，不能说它无用吧？”

“我没有说它无用，而是说它有局限性。比如，木工的工具是用来加工木头的，可以用来制造木质家具，你说有没有用？”

“嗯，有用。”

“有用是指在一定范围内说的。如果拿来加工金属，制造汽车就显出其局限性了。传统数学用来解决一般的科学问题还是可以的，但是用来解决宇宙问题就显出其局限性来了。”

“看来很有必要设立一门宇宙数学，用来解决宇宙问题。”

“那当然好啦！另外，传统数学还是训练人类思维逻辑能力的工具，数学不好的人，可能会成为浪漫的诗人，但是不能成为科学的决策者，因为科学需要逻辑。”

“据说有一个领袖级人物数学很差，凭着奸诈和胆量斗争打仗还可以，但是搞经济建设就一团糟了。”

“这是题外话了。——人类生活于自然界，在生产和生活中形成了数的概念，又在比较中有了数的大小的概念，通过对数的运算产生了算术；又由数的极限产生了微积分学，同时对物体的形状进行抽象，定义出点、线、面、各种多边形和多面体等，对物体的形状的测量、计算产生了几何学。算术、微积分学和几何学构成了传统数学。长期以来，人类以传统数学为工具，确实解决了大部分自然科学问题，因此人类从不怀疑传统数学的正确性，以为数学是完全符合自然的，几乎可以解决自然界的所有问题。但是，今天，自然科学遇到了瓶颈，很多科学问题不能解决，例如宇宙是如何运动的？哪里是宇宙的中心？哪里是宇宙的边缘？我们处在宇宙的什么位置？如果还是沿用传统数学这本老黄历，那就力有不逮了。”

“请你说具体一点。”

“比如数学的数理逻辑性是人的主观理念，而不完全是自然的真实反映。比如二分法悖论：这是希腊数学家芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了D。显然这个结论不符合客观实际，但是在数理逻辑上是无可挑剔的。”

“既然说不符合客观实际，怎么又说在数理上是无可挑剔的？”

“这是数学上的极限问题。数学的极限概念不符合客观实际。传统数学的数的变化是连续的，而宇宙运动变化是不连续的。”

“请你证明给我看。”

“我举极限圆为例。请你先看看我是如何证明的：设圆的周长为S，半径为r，圆的膨胀率为P，是指圆的即时增幅与即时圆周之比，则有：

    “P=[2π(r+Δr)- 2πr]/ 2π(r+Δr)= Δr/ (r+Δr)                   （1）

    “因为物质不能创生，宇宙的物质总量有最大值，因此对P取r最大值，在宇宙里，r趋于的‘最大值’相当于无穷大，所以得：

“P(r→最大值）= Δr/ (r+Δr) =0                                （2）

“（2）表示：当r 到达最大值时，宇宙球面不可能再膨胀了，那么圆也不能再膨胀了，也就是Δr为0了。于是由（1）得：

     “Δr=0r+0Δr=0+0Δr=0                                     （3）

    “（3）表示膨胀圆逼至最大值即极限值时Δr与r无关。

“设膨胀圆的极限半径为R，则有：

“R=r+Δr                                                   （4）

    “因为膨胀圆逼至最大值时Δr与r无关，故令r=0，将Δr=0和r=0代入（4），则有：

    “R=0；

“又因为：S= 2πr                                            （5）

“对（5）的r取极限，得：

    “lim(S→0)2πr =0

“所以收敛极限圆的半径r=0。从而证明膨胀圆和收敛圆的极限半径均为0。因为直线和点的半径均为0，所以动态圆的极限表现为一条直线，也可以表现为一个点——也就是它的运动经历点。”

“你为什么可以令r=0？r不是有实际量值的吗？”

“因为Δr=0r+0Δr=0+0Δr=0，                     （3）

“在（3）里，由于0乘r等于0，r已经为0了，所以Δr与r无关。既然Δr与r无关，那么就可以令r为任意数了，令r=0是解题的需要。”

“按照数学对极限的概念，膨胀率的极限只能逼近0而不能等于0，你为什么说‘逼至’呢？”

“这是因为传统定义数的变化是连续的，因此宇宙球面的半径可以无限膨胀下去。在传统数学里，数的极限没有最大，只有更大，没有最小，只有更小。其实这只是人类的主观猜测，并不符合宇宙是有限的这个实际。实际上，从大的方面讲，宇宙的广义物质总量是有限的，所以有最大值；从小的方面讲，物质分解也并不是无限可分的，分到最后是不可再分割的最小粒子，所以也有最小值。如果从微分的角度分析，由于传统数学只有更小而没有最小，因此r的变量以微分dr表示。根据微分定义，dr没有最小值，只可逼近0，而不可触及0。但是在宇宙物理学中，物质的运动是不连续的，而是一份一份进行的。每一份r可以用Δr表示。最小量的一份Δr直接与0接触，也就是说，当其运动到逼近极限时就会出现一份Δr刚好达到极限点0，使运动到达极限继而超越极限，从而使运动能够进入到新一轮的循环，所以不说‘逼近’而说‘逼至’。例如黑夜的极限点是00：00，按照传统数学的概念，时间增量dt只能无限地逼近00：00点，永远也不可能到达00：00点，但是时间是以一份一份Δt进行的，当时间逼近00：00点时，就会有一份Δt时间刚好到达00：00点，继续的一份Δt就可以进入第二天的白昼。显然，动态圆的膨胀与收敛以及宇宙的循环，包括所有物质的及物质表现形式的运动与昼夜交替的道理是一样的。”

“既然你说传统数学的极限概念不符合实际，怎么又说在数理逻辑上是无可挑剔的呢？”

“如果按照这样运动方式编辑成计算机程序，然后命令它执行这个程序，计算机就会控制标的物按照程序运动，那么标的物就永远到达不了D点，所以说在数理逻辑上是无可挑剔的。”

“这样的程序有意义吗？”

“当然有啦！为了防止潜水艇在下潜的过程中碰撞海底，于是根据芝诺的悖论原理，给潜水艇设计了下潜程序，使潜水艇下潜到某一距离定值量作为极限点D，使它逐步地接近极限点D，从而避免了潜水艇碰撞海底。”

“这么说，人为的程序也应该是一种客观实际吗？”

“在广义上说，凡是存在的都是客观实际，包括人类的精神世界以及精神产品。只有在狭义上，才将电脑程序划为非客观现实的东东。”

    “老吴，你敢于突破传统数学的局限性，这可是大智慧啊！”

“不敢当。在数学上，还没有人证明圆的膨胀有极限。这是我一家之言。还请你明鉴。不过正如你说的，科学界应该设立一门与传统静态数学不同的宇宙动态数学。”

    “我们越扯越远了。还是说说球面与平面有什么不同吧？”

“球面上的点与平面上的点不同，平面上的点没有半径，不占有空间；而球面上的点是半径为0的球面，所以占有空间，并且各自都有不同的方位，所以球面上的点称为质点；与平面上的垂线不同，球面上的垂线就好比刺猬身上的刺，每一根刺都指向不同的方向。所以宇宙上的质点是不能重合的。由于每个质点都占有固定的空间，因此球面空间是有限的，从而在运动时，导致点与点之间发生碰撞。”

“所以踢足球时就会将球打到门柱上去了？”

“是啊。也是由于每个质点都不相同的原因，你在自然界里找不到两片相同的树叶，在全世界也找不到两张相同的面孔，即使双胞胎也能分辨开来。”

“同一个印版也印不出两张相同的钱币啊！”

“但是坏人可以利用人们的错觉来制造假币。”

“如果在平面世界里，他们就能造出完全没有差别的假币来吗？”

“是的，这正是问题的关键。在宇宙球面里，客观事物的形状问题正说明了各自的独立性，而人的主观意识无法确定这种独立性，从而导致两者性质的不同：人为的想象往往觉得很清晰，但看不见摸不到。比如人类思维对形状有着丰富的想象力，聪明的人类从自然现象中抽象出了大量的精确的几何图形，但自然界真正的形状并不是如此——自然界没有标准的正方形，不存在标准的圆形，也找不到正立体形状。人们常常以‘水平’来作为平面的标准，但恰恰水面都不是平的——水手们都清楚，海面上先看到的是来船的桅杆。然而，人类正是在这些错觉的基础上产生了传统数学。”