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新华数列（其中‘数’即：最简单的因式分解公式）42个

已有 3002 次阅读2011-1-31 02:17 |系统分类:科技教育分享到微信

攸关的“权威的评价”见最后。本文中+a^6+a^4b^2－a^2b^4－b^6与+a^(2n)+…+a^(n+1)b^(n－1) －a^(n－1)b^(n+1) －…－b^(2n)同集（a^6为a的6次幂）

冯建华电话0086―15845446793,18245436492

攸关的成果：“奇数n阶幻方的最简便作法”的破天荒证明。而这1证明应当见于1千年之前的文献。幻方第1权威李立的无偿评价，和幻方权威徐允庆冯恭己2位的评审表各1份及其次生于1998年的证件和“再次生”于1999年的证件，附于并摘要于本文最后。

1、各集（含：划时代的中国国家常用9公式2008）

1.1 集合2.2Ⅰ

a^2－b^2=(a－b)(a+b)，

a^3－b^3=(a－b)(a^2+ab+b^2)，

…，

a^m－b^m=(a－b)［a^(m－1)+a^(m－2)b+…+b^(m－1)］（“m代表**数”之类，未见于文献）［公式（2.2Ⅰ）-1］，

…，

a^n－b^n=(2项式)×(多项式）（*代表**数）（公式2.2Ⅰ）。

各集内的形式最粗略的公式，均详见《2、新公式42个》。

接下来，插入“其它各集合的‘预备知识’”。

上述各左边和各第1个因式，均属于2项式类2（即第2类2项式，其余类推）；各第2个因式均属于多项式类Ⅰ。我中国公式，无不名副其实，名正言顺。以便类推，进而推陈出新。《易经大传》“方，以类聚；物，以群分”。类似的“无穷个公式”欢聚一堂。只要搜得其中的1个公式；那么，这1堂公式就一目了然。这就是“捋竿一爬，1蔓千瓜”。王安石复函司马光一针见血“盖儒者所争，尤在于‘名’‘实’。‘名’‘实’既明，而天下之理得矣”（《答司马谏议书》）。

上述各左边“a^2－b^2,a^3－b^3,…,a^m－b^m,…,a^n－b^n”即高中《代数》下册人民教育出版社1990年版黑龙江2000年第10次印刷11万册（以下简称为“三10代数”）中的递推数列。

又由于数列“4=2×2，6=2×3，8=2×4”依旧为数列“4,6,8”。

所以，集合2.2Ⅰ为递推数列。其通项公式，即公式2.2Ⅰ。

同理：本集各公式的第2个因式“a+b,a^2+ab+b^2,…,a^(m－1)+a^(m－2)b+…+b^(m－1),…，多项式”以下称之为递推数列Ⅰ。以其前3项，推得第4项；以第3项和第4项，推得第5项；如此依次递推，推得其余各项。

由于递推数列Ⅰ中的“a^3+a^2b+ab^2+b^3,a^5+a^4b+…+b^5,a^7+a^6b+…+b^7,…”为递推数列。所以，以其各项为各公式左边的《1.9、集Ⅰ.ⅠⅠ》为递推数列。

同理：本文各公式集合，均为递推数列。其“通项公式”，即集合内形式最粗略的公式。

递推数列为简单数列。其简单在于：由“第n项，第n+1项和第n+2项”推得“第n+3项”，接着“由‘第n+2项和第n+3项’推得‘第n+4项’”。如此“递推”，见《数学归纳法》。

由于“三10代数”以数学归纳法证明了（a+b）^n定理，且其逆定理为“不如公式（2.2Ⅰ）－1简单的因式分解公式”。尤其是：这一证明，典范了上述“递推”。

所以，当前高中应当以数学归纳法证明公式（2.2Ⅰ）－1。并以数列，归纳最简单的本文的因式分解公式。

1.2、集2.1Ⅱ

a^2－b^2=(a+b)(a－b)，

a^4－b^4=(a+b)(a^3－a^2b+ab^2－b^3)，

a^6－b^6=(a+b)(a^5－a^4b+…－b^5)，

…，

a^(2m) －b^(2m)=(a+b)［a^(2m－1) －a^(2m－2)b+…－b^(2m－1)］(抄于《中学生数学手册》)（m代正整数）［公式(2.1Ⅱ) －1］，

…，

a^n－b^n=(2项式) ×（偶数项式）（公式2.1Ⅱ）。

赘：a^m(m代正整数)≠a^m(m代正偶数)。赘毕。

当公式（2.1Ⅱ）－1适用时，公式（2.2Ⅰ）－1也适用。我称这种关系为成对儿。显然，

公式2.1Ⅱ与公式2.2Ⅰ照例成对。

集2.1Ⅱ中，各“第1个因式”均属于“2项式类1”；各“第2个因式”均属于“多项式类Ⅱ”，其中每个因式均为递推数列的各项和。

1.3、集1.1Ⅲ

x^3+y^3=(x+y)(x^2－xy+y^2),

x^5+y^5=(x+y)(x^4－x^3y+…+y^4),

…，

x^(2m+1)+y^(2m+1)=(x+y)［x^(2m) －x^(2m－1)y+…+ y^(2m) ］(与之成对儿的公式，在集1.1Ⅲk中)，

…，

x^n+y^n=(2项式)×(奇数项式)（公式1.1Ⅲ）。

其中，各“第2个因式”，均属于“多项式类Ⅲ”。本文各公式集内的因式，限于多项式类Ⅰ包括其中的2项式类1、多项式类Ⅱ包括其中的2项式类2和多项式类Ⅲ。

当n代奇数时，集1.1Ⅲ中，各“公式的左边”为“三10代数中的递推数列”：“x+y,x^2+y^2,x^3+y^3,…,x^n+y^n”(以下简称为“三10数列”)中的递推数列“x^3+y^3,x^5+y^5,…,x^n+y^n”。

1.4、集2.2Ⅰk

x^2－y^2=(x－y)(x+y)，

x^4－y^4=(x－y)(x+y)(x^2+y^2),

x^8－y^8=(x－y)(x+y)( x^2+y^2)(x^4+y^4),

…，

x^u－y^u=(x－y)(x+y) ( x^2+y^2)…(2项式) ［公式（2.2Ⅰk）-1］，

x^3－y^3=(x－y)(x^2+xy+y^2),

x^9－y^9=(x－y)×（3项式）×（3项式），

x^27－y^27=(x－y)×(“3个3项式”连乘)，

…，

x^v－y^v=(x－y) ×(“k个3项式”连乘)，

…，

x^w－y^w=(2项式) ×（“r项式k个”连乘）（本文因式的绝对值，均未必等于1）（公式2.2Ⅰk）。

“三10数列”中的递推数列“x+y,x^2+y^2,x^4+y^4,…”的各项，即公式（2.2Ⅰk）-1中的“k个连乘的因式”――“（x+y）(x^2+y^2)(x^4+y^4)…（2项式）。”

本文，公式名称中含1个k的公式，其因式的个数为k+1。

1.5、集Ⅳ.ⅡⅠ

+a^2－b^2=(a－b)(a+b),

+a^6+a^4b^2－a^2b^4－b^6=……，

+a^10+a^8b^2+a^6b^4－a^4b^6－a^2b^8－b^10=……，

…，

+a^(2m)+…+a^(m+1)b^(m－1)－a^(m－1)b^(m+1) －…－b^(2m)=(偶数项式) ×（偶数项式），

…，

+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)=(偶数项式) ×（偶数项式）(公式Ⅳ.ⅡⅠ）。

本集各“公式的左边”均为多项式类Ⅳ。

本集合的第3个元素，比工具书的

+ab^2+bc^2+a^2c-a^2b-b^2c-ac^2=(a-b)(b-c)(c-a)

简单。

以上五集，于2010年12月31日发出，见美国中文网博客：我中国“《数列》中最简单的‘因式分解公式集合’42个”。

1.6、集Ⅳ.2Ⅰ
+a^6+a^4b^2－a^2b^4－b^6=(+a^4－b^4)(a^2+b^2),
+a^10+a^8b^2+a^6b^4－a^4b^6－a^2b^8－b^10=(2项式)×(3项式)，
…,
+a^(2m)+…+a^(m+1)b^(m－1)－a^(m－1)b^(m+1) －…－b^(2m)=(2项式)×（多项式），
…,
+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)= (2项式)×（多项式）(公式Ⅳ.2Ⅰ)。
当公式Ⅳ.2Ⅰ适用时，公式Ⅳ. ⅡⅠ也适用；当公式Ⅳ. ⅡⅠ适用时，除+a^2－b^2=(+a－b)(a+b)外，公式Ⅳ.2Ⅰ也适用。我称这种关系为“共轭公式对”。

1.7 集Ⅱ.1Ⅱ
a^6－a^4b^2+a^2b^4－b^6=(a^4+b^4)(a^2－b^2),
a^14－a^12b^2+…－b^14=(2项式)×（4项式），
…,
a^(2m)－a^(2m－2)b^2+…－b^(2m)=(2项式)×（偶数项式），
…,
a^(2n)－…－b^(2n)= (2项式)×（偶数项式）(公式Ⅱ.1Ⅱ)。

1.8、集 Ⅰ.1Ⅰ
a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6=(a^4+b^4)(a^2+b^2),
a^10+a^8b^2+…+b^10=(2项式)×（3项式），
…,
a^(2m)+…+a^(m+1)b^(m－1)+a^(m－1)b^(m+1)+…+b^(2m)=(2项式)×（多项式）,
…,
+a^(2n)+…+…+…+b^(2n)= (2项式)×（多项式）（公式Ⅰ.1Ⅰ）。

1.9、公式集合Ⅰ. ⅠⅠ
a^3+a^2b+ab^2+b^3=(a+b)(a^2+b^2),
a^5+a^4b+…+b^5=(2项式)×(3项式)，
…,
a^u+a^(u－1)b+…+b^u=(2项式)×（多项式）,
a^5+a^4b+…+b^5=(3项式)×（2项式），
a^8+a^7b+…+b^8=(3项式)×（3项式），
…,
a^v+a^(v－1)b+…+b^v=(3项式)×（多项式），
…,
a^w+a^(w－1)b+…+b^w=(多项式)×(多项式)(w代表正合数)，
…,
a^n+…+b^n=(多项式)×(多项式)(**代表正合数)(公式Ⅰ. ⅠⅠ)。

1.10 集Ⅰ. ⅠⅢ
a^4+a^2b^2+b^4=… …,
a^8+a^6b^2+…+b^8=… …,
…,
a^(2m)+a^(2m－2)b^2+…+b^(2m)=(奇数项式)×（奇数项式），
…,
a^(2n)+…+a^nb^n+…+b^(2n)= (奇数项式)×（奇数项式）(公式Ⅰ. ⅠⅢ)。

1.11 集Ⅱ. ⅡⅠ
a^3－a^2b+ab^2－b^3=(a－b)(a^2+b^2),
a^5－a^4b+…－b^5=(2项式)×（3项式），
…,
a^u－a^(u－1)b+…－b^u=(2项式)×（多项式）,
a^7－a^6b+…－b^7=(4项式)×（2项式），
a^11－a^10b+…－b^11=(4项式)×（3项式），
…，

a^v－a^(v－1)b+…－b^v=(4项式)×（多项式），
...,
a^m－a^(m－1)b+…－b^m=(偶数项式)×（多项式），
…，
a^n－…－b^n=(偶数项式)×（多项式）(公式Ⅱ. ⅡⅠ)。

1.12 集Ⅱ. ⅢⅡ
a^5－a^4b+…－b^5=(3项式)×（2项式），
a^11－a^10b+…－b^11=(3项式)×（4项式），
…，

a^u－a^(u－1)b+…－b^u=(3项式)×（偶数项式）,

a^9－a^8b+…－b^9=(5项式)×（2项式），
a^19－a^18b+…－b^19=(5项式)×（4项式），
…，

a^v－a^(v－1)b+…－b^v=(5项式)×（偶数项式），

...,
a^m－a^(m－1)b+…－b^m=(奇数项式)×（偶数项式），
…，
a^n－…－b^n=(奇数项式)×（偶数项式）(公式Ⅱ. ⅢⅡ)。
关于“公式对”，详见《2.3、公式门类和公式对》。

1.13 集Ⅲ.ⅢⅢ
a^8－a^7b+…+b^8=（3项式）×（3项式），
a^14－a^13b+…+b^14=(3项式)×（5项式），
…，

a^u－a^(u－1)b+…+b^u=(3项式)×（奇数项式）,

a^14－a^13b+…+b^14=（5项式）×(3项式)，
a^24－a^23b+…+b^24=(5项式)×(5项式),
…，

a^v－a^(v－1)b+…+b^v=(5项式)×（奇数项式），

…，

a^(2m)－a^(2m－1)b+…+b^(2m)=(奇数项式)×(奇数项式)，
…，
a^(2n)－…+a^nb^n－…+b^(2n) =(奇数项式)×(奇数项式)(公式Ⅲ.ⅢⅢ)。

划时代的中国国家常用9公式2008

（1）《1.9集Ⅰ.ⅠⅠ》的合数项式a^n+…+b^n=(多项式)×（多项式）（9公式中的最基本公式之一），
（2）《1.8、集Ⅰ.1Ⅰ》的偶数项式a^(2n)+…+b^(2n)= (2项式)×（多项式），
（3）《1.10集Ⅰ.ⅠⅢ》的a^(2n)+…+a^nb^n+…+b^(2n)= (奇数项式)×（奇数项式），
（4）《1.13集Ⅲ.ⅢⅢ》的a^(2n)－…+a^nb^n－…+b^(2n) =(奇数项式)×(奇数项式)，
（5）《1.11 集Ⅱ. ⅡⅠ》的a^n－…－b^n=(偶数项式)×（多项式），
（6）《1.12集Ⅱ. ⅢⅡ》的a^n－…－b^n=(奇数项式)×（偶数项式），
（7）《1.7集Ⅱ.1Ⅱ》的a^(2n)－…－b^(2n)= (2项式)×（偶数项式），

（8）《1.6、集Ⅳ.2Ⅰ》的+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)= (2项式)×（多项式），
（9）《1.5、集Ⅳ.ⅡⅠ》的+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)=偶数项式)×（偶数项式）（9公式中的最基本公式之二）。

其中唯第（8）第（9）二个公式左边的最详细形式及其代数意义均相同。
这9公式，比（a+b）^n定理的逆定理简单；比“三10代数”中的某公式的逆定理
（a.1）^2+(a.2)^2+…+（a.n）^2+2{(a.1)×(a.2)+(a.1)×(a.3)+…+[a.(n－1)]×（a.n）}
=(a.1+a.2+…+a.n)^2
简单（其中a.n代表“a下标n”，其余类推）。《易经》《大传》“易，则易知；简，则易从。易、简；而天下之理，得矣。”
“三10代数”封1的“分解递推数列各项和”的因式的公式，图文并茂
1^2+2^2+…+n^2=[n(n+1)(2n+1)]除以6.
此“封1”的其他信息只还有：高级中学课本代数 DAISHU 下册（必修）人民教育出版社（其他信息完毕）。

1.14 集Ⅴ. ⅠⅢ
(a^5－a^4b+a^3b^2)+(a^2b^3－ab^4+b^5)=(2项式)×（3项式），
（a^8－a^7b+a^6b^2）+(a^5b^3－a^4b^4+a^3b^5)+(a^2b^6－ab^7+b^8)=(3项式)×（3项式），
…，
[a^u－a^(u－1)b+a^(u－2)b^2]+[a^(u－3)b^3－a^(u－4)b^4+a^(u－5)b^5]+…+[a^2b^(u－2)－ab^(u－1)+b^u]=(多项式)×（3项式），

（a^9－a^8b+…+a^5b^4）+(a^4b^5－a^3b^6+…+b^9)=(2项式)×(5项式)，
（a^14－a^13b^1+…+a^10b^4）+(a^9b^5－a^8b^6+…+a^5b^9)+(a^4b^10－a^3b^11+…+b^14)=(3项式)×（5项式），
…，
[a^v－a^(v－1)b+…+a^(v－4)b^4]+[a^(v－5)b^5－a^(v－6)b^6+…+a^(v－9)b^9]+…+[a^4b^(v－4)－a^3b^(v－3)+…+b^v]=(多项式)×(5项式)，
…，
[a^w－…]+…+[…+b^w]=(多项式)×(奇数项式)(公式Ⅴ. ⅠⅢ)。
其中每一左边，均属于多项式类Ⅴ。其中每一左边的各“项”，均为“多个单项式集合成”的递推数列的各项和。这样的和，独享[]1对儿。当这样的“左边的‘项’”的个数不小于3时，多项式类Ⅴ也是“递推数列的各项和”。

                                                                  1.15 集Ⅵ. ⅡⅡ
(a^3－a^2b)－（ab^2－b^3）=(a－b)(a^2－b^2),
(a^7－a^6b)－（a^5b^2－a^4b^3）+(a^3b^4－a^2b^5)－(ab^6－b^7)=(4项式)×(2项式)，
…，
[a^u－a^(u－1)b]－[a(u－2)b^2－a^(u－3)b^3]+…－[ab^(u－1)－b^u]=(偶数项式)×(2项式)，
(a^7－a^6b+a^5b^2－a^4b^3)－(a^3b^4－a^2b^5+ab^6－b^7)=(2项式)×(4项式)，
(a^15－a^14b+a^13b^2－a^12b^3)－(a^11b^4－a^10b^5+a^9b^6－a^8b^7)+(a^7b^8－a^6b^9+a^5b^10－a^4b^11)－(a^3b^12－a^2b^13+ab^14－b^15)=(4项式)×(4项式)，
…，
[a^v－a^(v－1)b+a^(v－2)b^2－a^(v－3)b^3]－[a^(v－4)b^4－a^(v－5)b^5+a^(v－6)b^6－a^(v－7)b^7]+…－[a^3b^(v－3)－a^2b^(v－2)+ab^(v－1）－b^v]=(偶数项式)×(4项式)，
…，
[a^w－…]－…－[…－b^w]=(偶数项式)×(偶数项式)（公式Ⅵ. ⅡⅡ）。
       公式Ⅵ. ⅡⅡ在有理数范围，有“与之成对儿的公式”。而《1.16、集Ⅶ. ⅢⅡ》中的公式Ⅶ. ⅢⅡ在有理数范围无与之成对的公式。
       集Ⅵ. ⅡⅡ中每一公式的左边，均属于多项式类Ⅵ。当它的"项"数不小于4时，为递推数列的各项和。当其中的每"项"中的单项式的个数不小于4时，这样的"项"，为递推数列的各项和。

1.16、集Ⅶ. ⅢⅡ
(a^5－a^4b)－(a^3b^2－a^2b^3)+(ab^4－b^5)=(3项式)×(2项式)，
(a^9－a^8b)－(a^7b^2－a^6b^3)+…+(ab^8－b^9)=(5项式)×(2项式)，
…，
[a^u－a^(u－1)b]－[a^(u－2)b^2－a^(u－3)b^3]+…+[ab^(u－1)－b^u]=(奇数项式)×(2项式)，
(a^11－a^10b+a^9b^2－a^8b^3)－(a^7b^4－a^6b^5+a^5b^6－a^4b^7)+(a^3b^8－a^2b^9+ab^10－b^11)=(3项式)×(4项式)，
(a^19－a^18b+a^17b^2－a^16b^3)－(a^15b^4－a^14b^5+a^13b^6－a^12b^7)+…+(a^3b^16－a^2b^17+ab^18－b^19)=(5项式)×(4项式)，
…，
[a^v－a^(v－1)b+…－a^(v－3)b^3]－[a^(v－4)b^4－a^(v－5)b^5+…－a^(v－7)b^7]+…－[a^3b^(v－3)－a^2b^(v－2)+…－b^v]=(奇数项式)×(4项式)，
…，
[a^w－…]－…+[…－b^w]=(奇数项式)×(偶数项式)(公式Ⅶ. ⅢⅡ)
其中每一公式的左边，均属于多项式类Ⅶ，均为递推数列的各项和。当其中的每一项中的单项式个数不小于4时，这样的项为递推数列各项和。

                                                         1.17,1.18,…，1.36各集
       这20集内的任意一集，比“《1.4集2.2Ⅰk》加前十六集内的另一集”简单，尤其是直接启发于这2集。
        这20集内的任意一个新公式，至少与前16集内的一个新公式成对。因此：
       上述36集内的6集内的每一公式的左边，限于2项式类1或类2；其余30集内的每一公式的左边，限于多项式类Ⅰ或类Ⅱ或类Ⅲ…或类Ⅶ。虽然属于类Ⅳ的每一多项式，不为“递推数列的各项和”；但是，+a^2－b^2既具备多项式类Ⅳ的性质，也具备多项式类Ⅱ的性质。参见《2.1.1、粗略形式》和《2.2、公式门类和公式对儿》。
        数列生花，五光十色。然而，大圣三十六变，小孙唯耍一猴。猴:[2项式（或递推数列各项和）]=（多项式）×（多项式或“c项式k个”连乘）。

                                                         1.37,1.38，…，1.42各集
        其中任意一个公式的右边，至少或起码与前36集内的一个公式的右边同样简单（但是，未必相等）；且前5集于2010年发表。故：所有这42集，合成“中国国家公式42集2010”。
        这42集内：28集内的22集直接启蒙于、其余6集知常达变于a^3+a^2+a+1=(a+1)(a^2+1); 其余14集直接引领于+a^2－1=(+a－1)(a+1)。一石激起千层浪，重洋共振，四海沸腾。烈焰通天，火起1星；星火燎原，世骇俗惊！

                                                     2 新公式42个
                                                     2.1 公式形式和9新
                                                     2.1.1、粗略形式
其中，前28个公式合称“数列中最简单的中国国家28公式2008”。
(1)1A公式2.2Ⅰ：a^n－b^n=(2项式)×(多项式)。本文每1多项式中的各单项式，互非同类项。
(2)2B公式2.2Ⅰk：a^n－b^n=(2项式)×(“r项式k个”连乘) 。
(3)3C公式2.1Ⅱ：a^n－b^n=(2项式)×(偶数项式)。
(4)4D公式2.1Ⅱk：a^n－b^n=(2项式)×(“偶数s项式k个”连乘)。
(5)5E公式1.1Ⅲ：a^n+b^n=(2项式)×(奇数项式)。
(6)6F公式1.1Ⅲk：a^n+b^n=(2项式)×（“奇数t项式k个”连乘）。
(7)1G公式Ⅳ.ⅡⅠ：+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)=（偶数项式）×（偶数项式）。
(8)2H公式Ⅳ.ⅡⅠk：+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)=（偶数项式）×（“偶数s项式k个”连乘）。
(9)3H公式Ⅳ.ⅠⅡk：+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)=（偶数项式）×（“偶数s项式k个”连乘）。
(10)4H公式Ⅳ.ⅡⅠkⅠⅠk：+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)= （“偶数s项式k个”连乘）×（“偶数s项式k个”连乘）。
(11)5I公式Ⅰ.ⅠⅢ：a^(2n)+…+a^nb^n+…+b^(2n)=(奇数项式)×(奇数项式)。
(12)6J公式Ⅰ.ⅠⅢk：a^(2n)+…+a^nb^n+…+b^(2n)= (奇数项式)×（"奇数t项式k个”连乘）.
(13)7J公式Ⅰ.ⅢⅠk:a^(2n)+…+a^nb^n+…+b^(2n)= (奇数项式)×（"奇数t项式k个”连乘）.
(14)8J公式Ⅰ.ⅠⅠkⅢⅢk:a^(2n)+…+a^nb^n+…+b^(2n)= （"奇数t项式k个”连乘)×（"奇数t项式k个”连乘）.

(15)1K公式Ⅰ. ⅠⅠa^n+…+b^n=(多项式)×（多项式）.
(16)2L公式Ⅰ. ⅠⅠk:a^n+…+b^n=(多项式)×（"r项式k个”连乘）.
(17)3M公式Ⅱ. ⅡⅠa^n－…－b^n=(偶数项式)×（多项式）。
(18)4N公式Ⅱ. ⅡⅠk:a^n－…－b^n=(偶数项式)×（"r项式k个”连乘）.
(19)5O公式Ⅱ. ⅢⅡa^n－…－b^n=(奇数项式)×（偶数项式）。
(20)6P公式Ⅱ. ⅢⅡk:a^n－…－b^n=(奇数项式)×（“偶数s项式k个”连乘）。
(21)7Q公式Ⅲ.ⅢⅢa^(2n)－…+a^nb^n－…+b^(2n) =(奇数项式)×(奇数项式).
(22)8R公式Ⅲ.ⅢⅢk:a^(2n)－…+a^nb^n－…+b^(2n) =(奇数项式)×（"奇数t项式k个”连乘）.
(23)1S公式Ⅰ.1Ⅰ:a^(2n)+…+b^(2n)= (2项式)×（多项式）.
(24)2T公式Ⅰ.1Ⅰk:a^(2n)+…+b^(2n)= (2项式)×（"r项式k个”连乘）.
(25)3U公式Ⅱ.1Ⅱ:a^(2n)－…－b^(2n)= (2项式)×（偶数项式）.
(26)4V公式Ⅱ.1Ⅱk:a^(2n)－…－b^(2n)= (2项式)×（“偶数s项式k个”连乘）。
(27)5G公式Ⅳ.2Ⅰ:+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)= (2项式)×（多项式）.
(28)6W公式Ⅳ.2Ⅰk:+a^(2n)+…+…－…－b^(2n)= (2项式)×（"r项式k个”连乘）.
        以上28个公式，对“23个多项式”分别作了因式分解。这28个公式中：第（7）个和第（27）个公式的左边相等，第（8）个第（9）个和第（10）个公式的左边相等，第（12）个第（13）个和第（14）个公式的左边相等。这样，这28个公式，共对“23个多项式”分别作了因式分解。这23个多项式中：2项式6个；“无穷递推数列的各项和”17个，其中每项均为单项式1个。

(29)1公式Ⅴ. ⅠⅢ[a^w－…]+…+[…+b^w]=(多项式)×(奇数项式)。
(30)2公式Ⅴ. ⅠⅢk:[[a^w－…]+…+[…+b^w]=(多项式)×（"奇数t项式k个”连乘)。
(31)3公式Ⅵ. ⅡⅡ:[a^w－…]－…－[…－b^w]=(偶数项式)×(偶数项式)。
(32)4公式Ⅵ. ⅡⅠk:[a^w－…]－…－[…－b^w]=(偶数项式)×（“偶数s项式k个”连乘）。
(33)5公式Ⅵ. ⅢⅡk:[a^w－…]－…－[…－b^w]=(奇数项式)×（“偶数s项式k个”连乘）。
(34)6公式Ⅶ. ⅢⅡ:[a^w－…]－…+[…－b^w]=(奇数项式)×（偶数项式）（在有理数范围无对儿）。
(35)7公式Ⅶ. ⅡⅠk:a^w－…]－…+[…－b^w]=（偶数项式）×（"奇数t项式k个”连乘）（不适用于有理数范围）。
(36)8公式Ⅶ. ⅡⅢk:a^w－…]－…+[…－b^w]=（偶数项式）×（"奇数t项式k个”连乘）（不适用于有理数范围）。

        第(29)~第(36)八个公式中的每1左边的“各'单项式的绝对值'”，为递推数列的各项。

       (37)1公式Ⅷ .1Ⅰ：a^(2n)+... ...+b^(2n)= (2项式)×（多项式）(左边为"多项式类Ⅷ ")。Ⅷ =8， Ⅸ=9。
       (38)2公式ⅤⅢ.1Ⅰk：a^(2n)+... ...+b^(2n)= (2项式)×（"r项式k个”连乘）(左边为多项式类Ⅷ ).
       (39)3公式Ⅸ .1Ⅱ:a^(2n)－... ...－b^(2n)= (2项式)×（偶数项式）(左边为多项式类IX)。
       (40)4公式IX.1Ⅱk:a^(2n)－... ...－b^(2n)= (2项式)×（“偶数s项式k个”连乘）(左边为多项式类IX)。
       (41) 5公式X.2Ⅰ:a^(2n)+... ...－b^(2n)= (2项式)×（多项式）(左边为多项式类X).
       (42)6 公式X.2Ⅰk:+a^(2n)+... ...－b^(2n)= (2项式)×（"r项式k个”连乘）(左边为多项式类X).

       上述42个公式中，除d第（29）第（30）二个公式外，其余40个公式的粗略形式，已于2008年发表，这40个公式合称“数列中中国国家40公式2008”。

2.1.2、9新
新1：公式2.2Ⅰ，公式2.1Ⅱ，公式1.1Ⅲ。
新2：公式Ⅳ.ⅡⅠ。
新3：公式Ⅰ.ⅠⅢ。
新4：公式Ⅰ. ⅠⅠ，公式Ⅱ. ⅡⅠ，公式Ⅱ. ⅢⅡ，公式Ⅲ.ⅢⅢ。
新5：公式Ⅰ.1Ⅰ，公式Ⅱ.1Ⅱ，公式Ⅳ.2Ⅰ。

新6：公式Ⅷ.1Ⅰ，公式Ⅸ.1Ⅱ，公式Ⅹ.2Ⅰ。
新7:公式Ⅴ. ⅠⅢ，公式Ⅵ. ⅡⅡ，公式Ⅶ. ⅢⅡ。
新8：公式Ⅵ. ⅡⅠk，公式Ⅵ. ⅢⅡk。
新9:《粗略形式》中的其余22个公式。

新：公式的最详细形式。而条件和推导（或证明）免费另教。每1“新”，均为创新1项。

其中：新1新2新3新4新5新7的公式，请依次参见《1.1集2.2Ⅰ》,《1.2》，1.3，1.5，1.6，...,1.16各集合，以便执简驭繁。新8新9的公式，加以参见《1.4集2.2Ⅰk》。

                                                        2.1.3   最详细形式
        见接下来的《成果转化方式》。
                                                         成果转化方式
各国师生：
        我最多15次免费教完你以下知识：
      （1）（1.1）用数学归纳法证明
a^n－b^n=(a－b)[a^(n－1)+a^(n－2)b+…+b^(n－1)];
       (1.2)新1和新2;(1.3)新3;(1.4)新4；(1.5)新5；(1.6)…(1.9)新9（详见上述《9新》）。
     （2）（2.1）5阶和7阶幻方的最简便作法;     （2.2）用这种方法，作奇数n阶幻方；

（2.3)用这种方法，作6阶和8阶方阵，进而作成6阶和8阶幻方；（2.4）进而作任意偶数阶幻方；

（2.5）用这种方法作5阶幻立方；（2.6）进而作任意奇数阶幻立方。

你把你校你班级（或再加你姓名）的邮编和通信地址及其他不保密的联系方式转给我；我就“知会科技部门”、我就请科技部门“把知识以纸质的书面形式转给你校，你校的数学权威阅后，再转给你”、我就请科技部门把“科技部门的这一作为”转告你。

        你“转给我信息”的媒介举例如下：
      （1）纸质邮件。
      （2）（2.1）联合国秘书处g.goh@commonwealth.int转联合国教科文组织再转我中国的科技或教育部门；或：贵国的科技或教育部门转我中国的科技或教育部门（这些部门的官方网站设有或将设有电子信箱）。（2.2）我省电视栏目《共度晨光》gdcg99@163.com,我省电视栏目《新闻夜航》的新浪网微博《新闻夜航》。这2个栏目的热线电话均为0086-0451-82890000。.
      （2.3）我中国北京电视台的热线电话0086-13901234567，这一热线还在播放节目时向观众承诺“分忧百姓烦心事”。手机短信，省钱。
      （3）（3.1）我省省长热线电话0086-0451-12345。.
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        总之我中国正在举国通力为各国师生服务，以《第12个五年规划》的《优先发展教育》为首要时务。
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        当我“转给某校知识”时，我就同时把这1知识发于本文中的《划时代的中国国家常用9公式2008》下。
       我的通信地址：
        邮政编码156334，
        地址：中国黑龙江建三江鸭绿河三区二站“冯建华电话：0086-15845446793”.
        我不接手机短信；一通过媒介，就见证我的贡献。

2.2 公式门类和公式对儿

2.2.1 门1类1

2.2.1.1 3纲

纲1：公式2.2Ⅰ及其推论（目1，目2，~目6）；

纲2：公式1.1Ⅲ及其推论（目7目8）；

纲3：“公式2.2Ⅰ与公式1.1Ⅲ”和谐推导的推论（目9~目13）。

2.2.1.2： 13目

目1：公式2.2Ⅰ，公式2.1Ⅱ，公式2.2Ⅰk，公式2.1Ⅱk。本目给出公式5对儿（4个）。

目2; 公式Ⅰ. ⅠⅠ，公式Ⅰ. ⅠⅠk。本目给出公式1对儿（2个）。以上2目给出公式6对儿（6个）。

目3：公式Ⅱ. ⅡⅠ，公式Ⅱ. ⅡⅠk.本目给出公式1对儿（2个）。以上3目给出公式7对儿（8个）。

目4：公式Ⅵ. ⅡⅡ，公式Ⅵ. ⅡⅡk.本目给出公式1对儿（2个）。以上4目给出公式8对儿（10个）。

目5：公式Ⅶ. ⅢⅡ。以上5目给出公式8对儿加1个（11个）。

目6：公式Ⅳ.ⅡⅠ，公式Ⅳ.ⅡⅠk，公式Ⅳ.ⅠⅡk，公式Ⅳ.ⅡⅠkⅠⅠk。本目给出公式6对儿（4个）。纲1（6目）给出公式14对儿加1个（15个）。

目7：公式1.1Ⅲ，公式1.1Ⅲk。本目给出公式1对儿（2个）。以上7目给出公式15对儿加1个（17个）。

目8：公式Ⅲ.ⅢⅢ，公式Ⅲ.ⅢⅢk。本目给出公式1对儿（2个）。以上2纲8目给出公式16对儿加1个（19个）。

目9：公式Ⅱ. ⅢⅡ，公式Ⅱ. ⅢⅡk.本目给出公式1对儿（2个）。本目每1公式，又分别与目3公式Ⅱ. ⅡⅠ成对儿。以上9目给出公式19对儿加1个（21个）。

目10：公式Ⅵ. ⅢⅡk。本公式与目4公式公式Ⅵ.Ⅱ Ⅱ成对儿。以上10目给出公式20对儿加1个（22个）。

目11：公式Ⅰ.ⅠⅢ，公式Ⅰ.ⅠⅢk,公式Ⅰ.ⅢⅠk,公式Ⅰ.ⅠⅠkⅢⅢk.本目给出公式6对儿（4个）。以上11目给出公式26对儿加1个（26个）。

目12：公式Ⅶ. ⅡⅠk，公式Ⅶ. ⅢⅡk。此2个公式分别与目5公式Ⅶ. ⅢⅡ成对儿。以上12目给出公式28对儿（28个）。

目13：公式Ⅴ. ⅠⅢ，公式Ⅴ. ⅠⅢk。本目给出公式1对儿（2个）。以上3纲13目给出公式29对儿（30个）。

由于公式1.1Ⅲ为公式2.2Ⅰ的推论；所以，以上3纲“一元化”为“公式2.2Ⅰ及其推论”。

2.2.2 门1类2

公式对儿1：公式Ⅰ.1Ⅰ，公式Ⅰ.1Ⅰk。且此2公式，又分别与类1目2公式Ⅰ.ⅠⅠ成对儿。

公式对儿2：公式Ⅱ.1Ⅱ，公式Ⅱ.1Ⅱk。且此2公式，又分别与类1目3公式Ⅱ. ⅡⅠ成对儿。

公式对儿3：公式Ⅳ.2Ⅰ，公式Ⅳ.2Ⅰk。且此2公式，又分别与类1目6公式Ⅳ.ⅡⅠ成对儿。

2.2.3 门2

对儿1：公式Ⅷ.1Ⅰ,公式Ⅷ.1Ⅰk.
对儿2：公式IX.1Ⅱ，公式IX.1Ⅱk.

对儿3：公式X.2Ⅰ,公式X.2Ⅰk。

                                                                     3、结论
                                            3.1、基础知识，一融会贯通，就首创还生。
                                                                 3.1.1、关键词对
        阴与阳（例如“特殊与一般”）
                                                                 3.1.1.1、首要词对：                                                              2与“数列”，4与“1次式”。
                                                                 3.1.1.2、其他词对                                                                   正整数与“其子集‘正偶数’”, 正整数与“其子集：正整数的正整数次幂”，偶数与“其子集：含有奇因数的偶数”。“偶数和奇数”与“合数和素数”。
         数对儿，决定公式对：数之间的关系，先决：公式之间的关系。
        有诗为证：
                                                           诗1、双腿师表（独木难行）
        熟视无睹，病与观念。
        古法宏扬，《阴阳》璀璨。
        筷舞1双，验廉简便。
        修竹婷婷对儿立，统一于科坛学苑。
        2花1本于沃土，永世奇艳。
        2木相辅相成，一飞天堑！
      “中国1瓷”双手启后，“炎黄千新”1用承前！

                                                                    3.1.2、一箭双雕
        1箭：《递推数列》。其意义，见工具书。
        雕1之例：有能力分解a^3+a^2+a+1和a^5+a^4+a^3+a^2+a+1的因式，再考《递推数列》
完毕：就有能力分解合数项式a^n+a^(n－1)+…+1的因式了。
        雕2：有能力作3阶幻方，再考《递推数列》完毕：就应当有能力作“任意阶幻方”了。
        有诗赞曰：
                                                     诗2、万变归宗（触类旁通）
        “代数”声声，暮鼓晨钟；
        “举一反三”，万校齐鸣。
        “千书1义”，化我心灵，醒彻他聋，碎尔装聪；
        “千篇一律”，哺育神童。
         千般数列，一脉相承！
                                                    3.2、“古为今用”，一泄天机
                                          3.2.1、万年松，参天于原始森林而生机最旺
（与《3.2.2》的内容，均待发表）
                                                      3.2.2、百花之1蜜，四射古香

                                                                       4、按语
        吉兆连连，一显必然。吟诗按语，触景生情；韵律双美，扬我遗风。
                                                    诗3、伯乐抖擞（1）（2），国运当鸿
              失尊创造，新《法》不容（3）；千花万果，一沐春风。
            四十公式，亮丽时空；公元08（4）（5），完美其名。
              山歌威虎(6)，江颂黑龙；江山锦绣，虎跃龙腾。
              八仙得志，五业振兴；健儿脱颖，笑傲京城。
        注释：
      （1）（4）2008年伊始我中国大年时，我中共党首登门拜望，且只登门拜望了钱学森和数学家吴文俊。这是“风满楼”。山雨欲来风满楼。2009年及其以后的我中国大年时，我中共党首登门拜望我。这是山雨欲来。
      （2）我中国自然科学基金委员会首先资助数学研究，见：这1委员会网站。
      （3）（5）科技进步法（最新修订版）于2008年7月1日起施行。
       本法第三条第二款全社会都应当尊重劳动，尊重知识，尊重人才，尊重创造。
      （6）我黑龙江省威虎山，属长白山脉。《智取威虎山》唱词“党给我智慧给我胆，千难万险只等闲”，我这“一代中国人”耳熟能详。

其余内容，将很快完善。我打字慢。