冯建华1786048482 2017-11-16 22:11 已有 117 次阅读

冯建华（电话和短信18245436492）       冯  越

（黑龙江农垦建三江分局鸭绿河农场54连，黑龙江 佳木斯 166334）

  标题中的公式是因式分解新公式42个中的首要公式。a^s表示a的s次方，a^sb^t表示(a^s与b^t)之积，其余类推。

  ∵举一，反三；

  ∴一给出a^s−b^s=(a^t−b^t)[a^(s−t)+a^(s−2t)b^t+⋯+b^(s−t)](s=nt,n∈N)(代以公式1)，                                                                                                                                                              就给出a^s−b^s=(a^t＋b^t)[a^(s−t)−a^(s−2t)b^t+⋯−b^(s−t)](s=2nt,n∈N)(代以公式1I)                                                                                                                                                                和a^s+b^s=(a^t+b^t)[a^(s−t)+a^(s−2t)b^t−⋯+b^(s−t)](s=nt,n∈N)(代以公式1II)。                                                                                                                                                              .

  ∵力求各项教学内容环环相扣得天衣无缝，∴各公式（或例题或习题）无不争取配套成龙。

一、公式1

证明：

用数学归纳法证明：

（1）当n=2时，右边=(a^t−b^t)[a^(s−t)+b(s−t)]=a^s−b^s=左边。等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，就是a^s−b^s=(a^t−b^t)[a^(s−t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s−t)]（s=kt,k=n，n∈N）。

那么,当n=k+1时：a^(s+t)−b^(s+t)=[a^(s+t)+(a^sb^t−a^tb^s)−b^(s+t)]−(a^sb^t−a^tb^s)=(a^s−b^s)(a^t+b^t)− (a^sb^t−

a^tb^s)=(a^t−b^t)[ a^(s−t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s−t)](a^t+b^t)−( a^t−b^t) [a^(s−t)b^t+a^(s-2t)b^(2t) +⋯+a^(2t)b^(s-2t)+a^tb^(s-t)]=( a^t−b^t)[a^s+a^(s-t)b^t+⋯+a^tb^s−t+a^(s−t)b^t+a^(s-2t)b^(2t)+⋯+a^tb^(s−t)+b^s]+(a^t−b^t)[−a^(s−t)b^t−a^(s-2t)b^(2t)−⋯−a^tb^(s-t)]           =( a^t−b^t)[a^s+a^(s-t)b^t+⋯+a^tb^(s−t)+b^s] [s+t=(k+1)t,k+1=n,n∈N]。                                  

这就是说，当n=k+1时，等式仍成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立。

  a^n−b^n=(a−b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+⋯+b^(n−1)( n∈N)(代以“公式11”)即：当t=1时（这时s=n）的公式1。

二、公式1I

  证明：

由公式1得a^s−b^s=[a^(2t)−b^(2t)][a^(s−2t)+a^(s−2t)b^(2t)+⋯+b^(s−2t)]= (a^t+b^t)(a^t−b^t)[a^(s−2t)+a^(s−2t）b^(2t)+⋯+b^(s-2t)]=(a^t+b^t)[a^(s−t)−a^(s−2t)b^t+⋯−b^(s−t)]（s=2nt,n∈N）。

三、公式1II

  证明：

  本公式为有关的数列（代以{ a|n }）的第n项a|n，a|n表示a下标n,a|(2n)表示a下标2n,其余类推。{ a|n }的各项依次如下（由于本网对常用数学符号的格式无能力支持，所以说明如下：{a|n}即{a下标n}，其余类推）：

  a|1：a^（3t）+b^(3t)=(a^t+b^t)[a^(2t)−a^tb^t+b^(2t）]，

  a|2：a^(5t)+b^(5t)=(a^t+b^t)[a^(4t)−a^(3t)b^t+ a^(2t)b^(2t)−a^tb^(3t)+b^(4t)]，

a|3：a^(7t)+b^(7t)=(a^t+b^t)[a^(6t)−a^(5t)b^t+ a^(4t)b^(2t)−a^(3t)b^(3t)+a^(2t)b^(4t)−a^tb^(5t)+

b^(6t)]， 

⋯，

a|n：a^(2n+1)+b^(2n+1)=a^s+b^s=（a^t+b^t）[a^(s−t)−a^(s-2t)b^t+ ⋯− a^tb^(s-2t)+

b^(s-t）][s=(2n+1)t,n∈N)。                                                                                                                                                                                                     用数列证明比用数学归纳法证明简单。

  ∵当t=1时，“[x+y^(−1)]+[x^2+y^(−2）]+[x^3+y^(−3)+ ⋯+[x^n+y^(−n)]”（见参考文献【1】）中的数列x+y^(−1)，x^2+y^(−2),x^3+y^(−3),…x^n+y^(−n) 在某种意义与{ a|n }同样简单。

  ∴当t=1时,类似公式有时应当见于教材。

四、 配套成龙的公式或例题或习题

  1、∵“用数学的归纳法证明x^(2n)−y^(2n)（n∈N）能被x+y整除”以例题见于参考文献【2】，∴“以数学归纳法证明a^(2n)−b^(2n)=（a+b）[a^(2n−1)−a^(2n-2)b+⋯−b^(2n-1）]（n∈N）”丞待以例题见于教材。

  2、∵“用数学归纳法证明x^n−y^n（n∈N）能被x−y整除”以习题见于参考文献【3】，∴公式11丞待以习题见于教材。

  3、∵“用数学归纳法证明x^n+y^n（n是正奇数）能被x+y整除”以习题见于参考文献【4】，∴“以数学归纳法证明'当t+1时的有关公式'”丞待以习题见于教材。

  ∵上述《1》《2》《3》中的参考文献【2】【3】【4】为同一教材，∴公11丞待以“要求重点掌握的基本公式”见于教材。

  4、“a^2−b^2=（a−b）（a+b）”“（a+b）^2=a^2+2ab+b^2”和“用数学归纳法证明的‘二项式定理’”均以基本公式见于教材，∴“以数学归纳法证明公11”丞待以基本公式见于教材。

参考文献

【1】2】【3】【4【5】人民出版社中学教学室高中数学下册（必修）。人民教育出版社，1990：60、116、120、121、128.

   ∵公式11;

  ∴a^60−b^60=(a−b)(a^59+a^58b+⋯+b^59)（a^60表示的次幂，其余类推）；

  ∵公式1，

  ∴除a^60−b^60=(a−b)(a^59+a^58b+⋯+b^59)外，尚有

  a^60−b^60=(a^2−b^2)(a^58+a^56b^2+⋯+b^58)，

  a^60−b^60=(a^3−b^3)(a^57+a^54b^3+⋯+b^57)，

  a^60−b^60=(a^4−b^4)(a^56+a^52b^4+⋯+b^56)，

  a^60−b^60=(a^5−b^5)(a^55+a^50b^5+⋯+b^55)，

  a^60−b^60=(a^6−b^6)(a^54+a^48b^6+⋯+b^54)，

  a^60−b^60=(a^10−b^10)(a^50+a^40b^10+⋯+b^50)，

  a^60−b^60=(a^20−b^20)(a^40+a^20b^20+b^40)，

  a^60−b^60=(a^30−b^30)(a^30+b^30)十解。