用数学归纳法证明a^s-b^s=(......)(......)
已有 3228 次阅读2018-2-21 23:10
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用数归法证,见《读写算,素质教育论坛》2017年第38期。
a^s−b^s=(a^t−b^t)【a^(s-t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s-t)】(s=nt,n∈N)(代以“公式Ⅰ”)证明:
(1)当n=2时,右边=(at−bt)(as-t+bs-t)= as−bs=左边。等式成立。
(2)假设当n=k时等式成立,就是a^s−b^s=(a^t−b^t)【a^(s-t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s-t)】(s=kt,k=n,n∈N)。
那么,当n=k+1时:a^(s+t)−b^(s+t)=a^(s+t)+a^sb^t−a^tb^s−b^(s+t)−(a^sb^t−a^tb^s)=(a^s−b^s)(a^t+b^t)− (a^sb^t−
a^tb^s)=(a^t−b^t)【a^(s-t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s-t)(a^t+b^t)−( a^t−b^t) 【a^(s-t)b^t+ a^(s-2t)b^(2t)+⋯+a^(2t)b^(s-2t)+a^tb^(s-t)】=( a^t−b^t)【a^s+a^(s-t)b^t+⋯+ a^tb^(s-t)+a^(s-t)b^t+a^(s-2t)b^(2t)+⋯+ a^tb^(s-t)+b^s)+ ( a^t−b^t)【−a^(s-t)b^t− a^(s-2t)b^(2t)−⋯− a^tb^(s-t)】=( a^t−b^t)【a^s+a^(s-t)b^t+⋯+a^tb^(s-t)+b^s】[s+t=(k+1)t,k+1=n,n∈N]。
这就是说,当n=k+1时,等式仍成立。
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N都成立。
a^n−b^n=(a−b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+⋯+b^(n-1)】( n∈N)(代以“公式Ⅳ”)即:当t=1时(这时s+n)的公式Ⅰ。
二、公式Ⅱ
证明:
由公式Ⅰ得as−bs=(a2t−b2t)(as-2t+as-2(2t)b2t+⋯+bs-2t)= (at+bt)(at−bt)(as-2t+as-2(2t)b2t+⋯+bs-2t)=(at+bt)(as-t−as-2tb+⋯−bs-t)(s=2nt,n∈N)上述‘类推’例如上行中的as-2t即a的s-2t次幂,as-2(2t)b2t即a的s-2(2t)次幂与b的2t次幂之积。
三、公式Ⅲ
证明:
公式Ⅲ为有关的数列(代以{ an })的第n项an。{ an }的各项依次如下(由于本网对常用数学符号的格式无能力支持,所以说明如下:{an}即{a下标n},其余类推):
a1::a3t+b3t=(at+bt)(a2t−atbt+b2t),
a2:a5t+b5t=(at+bt)(a4t−a3tbt+ a2tb2t − atb3t+b4t),
a3:a7t+b7t=(at+bt)(a6t−a5tb+ a4tb2t−a3tb3t+a2tb4t−atb5t+
b6t),
⋯,
an:a2n+1+b2n+1=as+bs=(at+bt)(as-t−as-2tbt+ ⋯− atbs-2t+
bs-t)[s=(2n+1)t,n∈N)。 用数列证明比用数学归纳法证明简单。
∵当t=1时,“(x+y的-1次幂)+(x的2次幂+y的-2次幂)+(x的3次幂+y的-3次幂)+ ⋯+(x的n次幂+y的-n次幂)”(见参考文献【1】)中的数列x+y的-1次幂,x2+y的-2次幂,x3+y的-3次幂,xn+y的-n次幂 在某种意义与{ an }同样简单。
∴当t=1时的公式Ⅲ有时应当见于教材。
四、 配套成龙的公式或例题或习题
1、∵“用数学的归纳法证明x2n−y2n(n∈N)能被x+y整除”以例题见于参考文献【2】,∴“以数学归纳法证明a2n−b2n=(a+b)(a2n-1−a2n-2b+⋯−b2n-1)(n∈N)”丞待以例题见于教材。
2、∵“用数学归纳法证明xn−yn(n∈N)能被x−y整除”以习题见于参考文献【3】,∴公式Ⅳ丞待以习题见于教材。
3、∵“用数学归纳法证明xn+yn(n是正奇数)能被x+y整除”以习题见于参考文献【4】,∴“以数学归纳法证明当t+1时的公式Ⅲ”丞待以习题见于教材。
∵上述《1》《2》《3》中的参考文献【2】【3】【4】为同一教材,∴公式Ⅳ丞待以“要求重点掌握的基本公式”见于教材。
4、“a2-b2=(a−b)(a+b)”“(a+b)2=a2+2ab+b2”和“用数学归纳法证明的‘二项式定理’”均以基本公式见于教材,∴“以数学归纳法证明公式Ⅳ”丞待以基本公式见于教材。
5、“用数学归纳法证明(a1+a2+⋯+an)2=a12+a22+⋯+an2+2〔(a1a2+a1a3+⋯+a1an)+(a2a3+a2a4+⋯+a2an)+⋯+(an-2an-1+an-2a n) +
an-1an〕”以习题见于参考文献【5】,∴较之简单的公式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ均丞待以习题见于教材。
参考文献
【1】2】【3】【4【5】人民出版社中学教学室高中数学下册(必修)。人民教育出版社,1990:60、116、120、121、128.
∵公式Ⅳ,
∴a60-b60=(a-b)(a59+a58b+⋯+b59);
∵公式Ⅰ,
∴除a60-b60=(a-b)(a59+a58b+⋯+b59)外,尚有
a60-b60=(a2-b2)(a58+a56b2+⋯+b58),
a60-b60=(a3-b3)(a57+a54b3+⋯+b57),
a60-b60=(a4-b4)(a56+a52b4+⋯+b56),
a60-b60=(a5-b5)(a55+a50b5+⋯+b55),
a60-b60=(a6-b6)(a54+a48b6+⋯+b54),
a60-b60=(a10-b10)(a50+a40b10+⋯+b50),
a60-b60=(a15-b15)(a45+a30b15+⋯+b45),
a60-b60=(a20-b20)(a40+a20b20+b40),
a60-b60=(a30-b30)(a30+b30)九解。
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