冯建华（电话18245436492）       冯  越

（黑龙江农垦建三江分局鸭绿河农场54连，黑龙江 佳木斯 166334）

    标题中的公式是因式分解新公式42个中的首要公式。（由于本网对常见数学符号的格式无能力支持，所以说明如下）其中：as即a的s次幂，as-t即a的s-t次幂，as-2tbt即a的s-2t次幂与b的t次幂之积，s=nt即t分之s=n，其余类推。
    ∵举一，反三；

    ∴一给出as−bs=（at−bt）（as-t+as-2tbt+⋯+bs-t）（s=nt,n∈N）（代以“公式Ⅰ”），就给as−bs=(at+bt)(as-t−as-2tbt+⋯−bs-t)（s=2nt,n∈N）（代以“公式Ⅱ”）和 as+bs=(at+bt) (as-t−as-2tbt                     +⋯+bs-t)[s=(2n+1)t,n∈N]（代以“公式Ⅲ”）

    ∵力求各项教学内容环环相扣得天衣无缝，∴各公式（或例题或习题）无不争取配套成龙。

一、公式Ⅰ

证明：

用数学归纳法证明：

（1）当n=2时，右边=(at−bt)(as-t+bs-t)= as−bs=左边。等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，就是as−bs=(at−bt)(as-t+as-2tbt+⋯+bs-t)（s=kt,k=n，n∈N）。

那么,当n=k+1时：as+t−bs+t=as+t+asbt−atbs−bs+t−(asbt−atbs)=(as−bs)(at+bt)− (asbt−

atbs)=(at−bt)( as-t+as-2tbt+⋯+bs-t)(at+bt)−( at−bt) (as-tbt+       as-2tb2t +⋯+a2tbs-2t+atbs-t)=( at−bt)(as+as-tbt+⋯+ atbs-t+as-tbt     + as-2tb2t+⋯+ atbs-t+bs)+ ( at−bt)( −as-tbt− as-2tb2t−⋯− atbs-t)           =( at−bt)( as+as-tbt+⋯+atbs-t+bs) [s+t=(k+1)t,k+1=n,n∈N]。                                    

这就是说，当n=k+1时，等式仍成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立。

    an−bn=(a−b)(an-1+an-2b+⋯+bn-1)( n∈N)(代以“公式Ⅳ”)即：当t=1时（这时s+n）的公式Ⅰ。

二、公式Ⅱ

    证明：

由公式Ⅰ得as−bs=(a2t−b2t)(as-2t+as-2（2t）b2t+⋯+bs-2t)= (at+bt)(at−bt)(as-2t+as-2（2t）b2t+⋯+bs-2t)=(at+bt)(as-t−as-2tb+⋯−bs-t)（s=2nt,n∈N）上述‘类推’例如上行中的as-2t即a的s-2t次幂，as-2（2t）b2t即a的s-2(2t)次幂与b的2t次幂之积。

三、公式Ⅲ

    证明：

    公式Ⅲ为有关的数列（代以{ an }）的第n项an。{ an }的各项依次如下（由于本网对常用数学符号的格式无能力支持，所以说明如下：{an}即{a下标n}，其余类推）：

    a1:：a3t+b3t=(at+bt)（a2t−atbt+b2t），

    a2：a5t+b5t=(at+bt)（a4t−a3tbt+ a2tb2t − atb3t+b4t），

a3：a7t+b7t=(at+bt)（a6t−a5tb+ a4tb2t−a3tb3t+a2tb4t−atb5t+

b6t），    

⋯，

an：a2n+1+b2n+1=as+bs=（at+bt）（as-t−as-2tbt+ ⋯− atbs-2t+

bs-t）[s=(2n+1)t,n∈N)。                                                                                                                                                                                                     用数列证明比用数学归纳法证明简单。

    ∵当t=1时，“(x+y的-1次幂)+（x的2次幂+y的-2次幂）+(x的3次幂+y的-3次幂)+ ⋯+(x的n次幂+y的-n次幂)”（见参考文献【1】）中的数列x+y的-1次幂，x2+y的-2次幂,x3+y的-3次幂,xn+y的-n次幂 在某种意义与{ an }同样简单。

    ∴当t=1时的公式Ⅲ有时应当见于教材。

四、 配套成龙的公式或例题或习题

    1、∵“用数学的归纳法证明x2n−y2n（n∈N）能被x+y整除”以例题见于参考文献【2】，∴“以数学归纳法证明a2n−b2n=（a+b）（a2n-1−a2n-2b+⋯−b2n-1）（n∈N）”丞待以例题见于教材。

    2、∵“用数学归纳法证明xn−yn（n∈N）能被x−y整除”以习题见于参考文献【3】，∴公式Ⅳ丞待以习题见于教材。

    3、∵“用数学归纳法证明xn+yn（n是正奇数）能被x+y整除”以习题见于参考文献【4】，∴“以数学归纳法证明当t+1时的公式Ⅲ”丞待以习题见于教材。

    ∵上述《1》《2》《3》中的参考文献【2】【3】【4】为同一教材，∴公式Ⅳ丞待以“要求重点掌握的基本公式”见于教材。

    4、“a2-b2=（a−b）（a+b）”“（a+b）2=a2+2ab+b2”和“用数学归纳法证明的‘二项式定理’”均以基本公式见于教材，∴“以数学归纳法证明公式Ⅳ”丞待以基本公式见于教材。

    5、“用数学归纳法证明（a1+a2+⋯+an）2=a12+a22+⋯+an2+2〔(a1a2+a1a3+⋯+a1an)+(a2a3+a2a4+⋯+a2an)+⋯+(an-2an-1+an-2a n) +      

an-1an〕”以习题见于参考文献【5】，∴较之简单的公式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ均丞待以习题见于教材。

参考文献

【1】2】【3】【4【5】人民出版社中学教学室高中数学下册（必修）。人民教育出版社，1990：60、116、120、121、128.

     ∵公式Ⅳ，

    ∴a60-b60=(a-b)(a59+a58b+⋯+b59);

    ∵公式Ⅰ，

    ∴除a60-b60=(a-b)(a59+a58b+⋯+b59)外，尚有

    a60-b60=(a2-b2)(a58+a56b2+⋯+b58)，

    a60-b60=(a3-b3)(a57+a54b3+⋯+b57)，

    a60-b60=(a4-b4)(a56+a52b4+⋯+b56)，

    a60-b60=(a5-b5)(a55+a50b5+⋯+b55)，

    a60-b60=(a6-b6)(a54+a48b6+⋯+b54)，

    a60-b60=(a10-b10)(a50+a40b10+⋯+b50)，

    a60-b60=(a15-b15)(a45+a30b15+⋯+b45),

    a60-b60=(a20-b20)(a40+a20b20+b40)，

    a60-b60=(a30-b30)(a30+b30)九解。